10-я Жаутыковская олимпиада (2014), теоретический тур

Задача №1. (10 баллов)
Эта задача состоит из трех частей, не связанных друг с другом. Задача 1А (3.0 балла)

Паровая машина состоит из вертикального цилиндрического сосуда, в котором может двигаться без трения поршень. В сосуде находится вода, внутри которой расположен электрический нагреватель. Цикл паровой машины состоит из

$4$ этапов, показанных на рисунке:
1. На поршне находится груз, включают нагреватель, вода кипит, пар поднимает поршень с грузом.
2. После того, как поршень поднялся на некоторую высоту, груз быстро снимают и вы-ключают нагреватель.
3. Пар под поршнем остывает и конденсируется, поршень медленно опускается.
4. После того как поршень опустился на определенную высоту, на него снова кладут груз. Постройте на диаграмме

$(P,V)$ схематически цикл данной машины и найдите ее КПД. Атмосферное давление

$P_0=10^5$ Па, масса поршня

$M=2$ кг, его площадь

$S=10$ см

$^2$ , масса груза

$m=1$ кг. Ускорение свободного падения

$g=9,8$ м/с

$^2$ . Считайте, что под поршнем находится только водяной пар. Зависимость давления насыщенного водяного пара от температуры в рассматриваемом диапазоне описывается функцией

$P=at-b$ , где,

$a=4,85$ кПа/К,

$b=384$ кПа,

$t$ — температура в градусах Цельсия.
Задача 1В (5.0 балла)

В схеме, изображённой на рисунке, все элементы идеальные, указанные параметры считать известными. До замыкания ключа конденсатор был незаряжен. Какое количество теплоты выделится в резисторе

$R$ после замыкания ключа?
Задача 1С (2.0 балла) Тонкая линза дает изображение предмета, расположенного перпендикулярно ее опти-ческой оси. Размер изображения

$1$ см. Если расстояние от предмета до линзы увеличить на

$5$ см, то опять получится изображение размером

$1$ см. Каким будет размер изображения, если расстояние от предмета до линзы увеличить ещё на

$5$ см?
комментарий/решение

Задача №2. Реактивное движение (10 баллов)

В ракетных двигателях сила тяги создается в результате выброса продуктов горения топлива в направлении, противоположном движению. При этом, естественно, масса ракеты уменьшается. Эта идея была впервые высказана великим русским ученым К.Э. Циолковским для осуществления движения объектов в пустоте, например, в космическом пространстве. Сейчас полеты в космос стали уже привычными, на территории Казахстана расположен космодром Байконур, с которого был запущен первый спутник Земли и стартовал первый космонавт — Ю.А. Гагарин. Космодром Байконур представляет собой комплекс высокотехнологических сооружений, предназначенных для запуска пилотируемых аппаратов в космос, в частности, на Международную космическую станцию.
Классическая ракета Пусть ракета имеет начальную массу

$m_0$ , а скорость истечения топлива относительно ракеты постоянна и равна

$u$ . Считайте пока, что в начальный момент времени ракета покоится в лабораторной системе отсчета и внешние силы отсутствуют.
1. [0.5 балла] Найдите зависимость скорости ракеты

$\vartheta$ от ее массы

$m$ . Эта формула называется формулой Циолковского. Ответ выразите через

$m$ ,

$m_0$ ,

$u$ .
2. [0.5 балла] Пусть объект массы

$m=1000$ кг требуется разогнать до первой космической скорости. Найдите начальную массу ракеты

$m_0$ с топливом, если

$u=5$ км/с, ускорение свободного падения

$g=9,8$ м/с

$^2$ , радиус Земли

$R=6400$ км.
Пусть ракета движется в поле тяжести Земли, ускорение свободного падения

$g$ которого будем считать постоянным, а расход топлива

$\mu(t)=-dm(t)/dt$ может зависеть от времени.
3. [0.75 балла] Запишите уравнение движения ракеты в гравитационном поле Земли. Это уравнение называется уравнением Мещерского. Ответ выразите через

$m$ ,

$v$ ,

$u$ ,

$g$ ,

$\mu$ .
Далее считайте, что скорость истечения топлива

$u$ направлена вдоль ускорения свободного падения

$g$ , а начальная скорость ракеты равна нулю.
4. [0.75 балла] Найдите, как расход топлива

$\mu_{st}(t)$ должен зависеть от времени

$t$ , чтобы ракета висела на одной высоте неподвижно. Ответ выразите через

$m_0$ ,

$u$ ,

$g$ ,

$t$ . Пусть теперь расход топлива постоянен во времени и равен

$\mu$ , причем всегда

$\mu>\mu_{st}(t)$ .
5. [2.0 балла] Тогда зависимость скорости ракеты

$\vartheta(t)$ от времени

$t$ . может быть представлена в виде

$v(t)=A_1t+A_2ln(1+A_3t),$ где

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ — некоторые постоянные. Найдите

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ и выразите их через

$m_0$ ,

$u$ ,

$g$ ,

$\mu$ .
6. [1.0 балла] Пусть начальная масса ракеты равна

$m_0$ , а конечная масса —

$m$ . Найдите максимальную высоту

$H_{\max}$ , которую может достигнуть ракета и соответствующий расход топлива

$\mu_{opt}$ . Ответ выразите через

$m_0$ ,

$m$ ,

$u$ ,

$g$ . Релятивистская ракета
В предыдущей части считалось, что ракета движется с нерелятивистской скоростью. Для осуществления межзвездных путешествий необходимо разгонять ракеты до скоростей, близких к скорости света и тогда в расчетах нельзя пренебрегать эффектами теории относительности. Для установления характера движения ракеты в релятивистском случае введем понятие сопутствующей системы отсчета. Сопутствующая система отсчета — это инерциальная система отсчета, которая движется относительно лабораторной системы отсчета со скоростью самой ракеты, то есть это система отсчета, в которой ракета в данный момент времени покоится.
7. [2.5 балла] Найдите связь ускорения ракеты в сопутствующей системе отсчета

$a_{p}$ с ее ускорением в лабораторной системе отсчета

$a_{r}$ , если скорость ракеты в данный момент времени равна

$v$ , а скорость света —

$c$ . Ответ выразите через

$a_{p}$ ,

$a_{r}$ ,

$v$ ,

$c$ .
8. [1.5 балла] Пусть ракета в начальный момент времени покоится. Тогда используя результаты предыдущего пункта можно показать, что масса ракеты в некоторый момент времени в сопутствующей системе отсчета связана с ее скоростью в лабораторной системе соотношением

$m=m_0\left(\frac{1-v/c}{1+v/c}\right)^{\alpha}.$ Найдите

$\alpha$ и выразите его через

$u$ ,

$c$ .
9. [0.25 балла] Пусть объект массы

$m=1000$ кг требуется разогнать до скорости

$\vartheta=0,5$ с, равной половине скорости света

$c=3\cdot 10^8$ м/с. Найдите начальную массу ракеты

$m_0$ с топливом в виде степени с основанием

$10$ , если скорость истечения топлива

$u=5$ км/с,
10. [0.25 балла] С точки зрения практики наилучшей является так называемая фотонная ракета, которая выбрасывает назад не раскаленные газы, получаемые при сгорании топлива, а фотоны. Пусть объект массы

$m=1000$ кг требуется разогнать до скорости

$\vartheta=0,5$ км/с. Найдите начальную массу фотонной ракеты

$m_0$ .
комментарий/решение

Задача №3. Метаматериалы (10 баллов)

Метаматериал — композиционный материал, свойства которого обусловлены не столько свойствами составляющих его элементов, сколько искусственно созданной периодической структурой. Метаматериалы синтезируются в современных нанолабораториях внедрением в исходный природный материал различных периодических структур с самыми различными геометрическими формами, которые модифицируют физические свойства исходного материала. В очень грубом приближении такие внедрения можно рассматривать как искусствен-но внесенные в исходный материал атомы чрезвычайно больших размеров. Разработчик метаматериалов при их синтезировании имеет возможность варьирования различных свободных параметров (размеры структур, форма, постоянный и переменный период между ними и т. д.). В одной из нанолабораторий был получен метаматериал, из которого изготовили проводник длиной

$L=5$ см и радиусом

$R=1$ мм, проводимость которого зависит от расстояния до оси по закону

$\sigma_0=\beta r$ . Свойства проводника были экспериментально определены и представлены в следующей таблице:

1. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для полного сопротивления проводника

$R_0$ и рассчитайте его численное значение; По проводнику пропускают ток силой

$I=1$ А. Известно, что теплообмен с окружающей средой происходит по закону Ньютона-Рихмана

$P_{\text{est}}=\alpha(T_{s}-T_{0}),$ где

$P_{\text{est}}$ — мощность потерь с единицы поверхности проводника с температурой поверхности

$T_{s}$ ,

$T_0=293$ К — температура окружающей среды,

$\alpha$ — некоторая постоянная, называемая коэффициентом теплоотдачи.
2. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для температуры поверхности проводника

$T_{s}$ и рассчитайте ее численное значение; Температура проводника меняется с глубиной вследствие явления теплопроводности, которое описывается следующим законом Фурье

$P=-kS\frac{\Delta T}{\Delta x},$ где

$P$ — мощность теплового потока между гранями параллелепипеда площадью

$S$ ,

$\Delta T$ — перепад температур между гранями параллелепипеда, расположенными на расстоянии

$\Delta x$ друг от друга,

$k$ — коэффициент теплопроводности.
3. [2.5 балла] Найдите аналитическую формулу для температуры в центре проводника

$T_{\max}$ и рассчитайте ее численное значение;
4. [0.5 балла] Найдите аналитическую формулу для изменения радиуса проводника

$\delta R_{T}$ , обусловленного тепловым расширением, и рассчитайте его численное значение; Внимание! В дальнейших расчетах считайте проводник бесконечно длинным.
5. [0.5 балла] Найдите зависимость индукции магнитного поля

$B(r)$ внутри проводника в зависимости от расстояния

$r$ до его оси;
6. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для энергии магнитного поля

$W_{B}$ внутри проводника и рассчитайте ее численное значение;
7. [1.0 балла] В результате пропускания электрического тока по проводнику в нем возникает механическое напряжение. Найдите зависимость давления

$p(r)$ внутри проводника в зависимости от расстояния

$r$ до его оси;
8. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для механической энергии деформаций проводника

$W_{\sigma}$ и рассчитайте ее численное значение;
9. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для изменения радиуса проводника

$\sigma W_{\sigma}$ , обусловленного механическими напряжениями, и рассчитайте его численное значение;
10. [0.5 балла] Найдите величину коэффициента теплового расширения

$\gamma$ , при которой радиус проводника не изменился бы при пропускании через него электрического тока. Справка. Значение магнитной постоянной равно

$\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м.
комментарий/решение