Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

58-я Международная Математическая Oлимпиада
Бразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год


Есеп №1.  Әрбір a0>1 бүтін саны үшін, a0, a1, a2, тізбегін осылай анықтайық: an+1={an, егер an — бүтін болса,an+3 кері жағдайда, барлық n0 үшін. Келесі шарт орындалатындай a0 барлық мәндерін табыңыз: шексіз көп n сандары үшін an=A болатын A саны бар.
комментарий/решение(3)
Есеп №2. R — нақты сандар жиыны. Барлық нақты x және y үшін f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) теңдеуін қанағаттандыратын барлық f:RR функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Аңшы және көзге көрінбейтін қоян жазықтықта келесі ойын ойнайды. Қоянның бастапқы нүктесі A0, және аңшының бастапқы нүктесі B0, екеуі бірдей екен. Ойынның n1 раундтан кейін, қоян An1 деген нүктеде түр, ал аңшы Bn1 деген нүктеде түр. Ойынның n-інші раунд кезінде, келесі үш нәрсе ретінде орындалады.
(i) Қоян, көзге көрінбей, An1 мен An нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай An деген нүктеге өтеді.
(ii) Бақылау аппараты аңшыға Pn деген нүктені көрсетеді. Мұнда бақылау аппараты Pn мен An нүктелер арасында қашықтығы 1-ден аспайтынын ғана кепіл береді.
(iii) Аңшы, Bn1 мен Bn нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай, көрінетін бір Bn деген нүктеге өтеді. Қоян қалай жүрсе де және бақылау аппараты қандай нүктелер көрсетсе де, 109 раундтан кейін аңшы мен қоян арасында қашықтығы 100-ден аспайтынына кепіл ету үшін, аңшы қалай жүру керек өзіне әрқашан таңдай ала ма?
комментарий/решение(4)
Есеп №4. Ω деген шеңберінің бойында RS диаметрі тес болатын R және S нүктелер белгіленген. R нүктесінде Ω-ны жанайтын түзуі сызылған. S нүктесі RT кесіндісінің ортасы болатын T нүктесі алынған. Ω-ның RS кіші доғасында келесі шарт орындалатындай J нүктесі алынған: JST үшбұрышының сырттай сызылған Γ шеңбері түзуімен екі әртүрлі нүктеде қиылысады. Осы Γ шеңберінің мен түзуінің қиылысу нүктелерінен K нүктесіне жақын нүктесін A деп белгілейік. AJ түзуі Ω-ны екінші рет K нүктесінде қияды. KT түзуі Γ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
Есеп №5. N2 бүтін саны берілген. N(N+1) ойыншы бар командасы қатарда түр, және оларда кез келген екеуінің бойлары бірдей емес. Жаттықтырушы N(N1) ойыншыны алып тастап, қалған 2N ойыншыларының жаңа қатарында келесі N шарт көруге келеді:
(1) бойлары ең ұзын екі ойыншының арасында ешкім жоқ,
(2) бойлары үшінші мен төртінші ең ұзын ойыншының арасында ешкім жоқ,

(N) бойлары ең кіші екі ойыншының арасында ешкім жоқ.
Осыны әрқашан істеуге мүмкіндігі бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №6.  x және y бүтін сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болатын (x,y) жұптығы примитивті нүкте болсын. Примитивті нүктелерден құралған S шекті жиыны берілген. S-тің ішінен әрбір (x,y) үшін a0xn+a1xn1y+a2xn2y2++an1xyn1+anyn=1.
комментарий/решение(3)
результаты