58-я Международная Математическая Oлимпиада
Бразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год

Есеп №1.  Әрбір $a_0 > 1$ бүтін саны үшін, $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ тізбегін осылай анықтайық: $${a_{n + 1}} = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{a_n}} ,\mbox { егер } {\sqrt{a_n}} \mbox { — бүтін болса},\\ {a_n} + 3 \mbox { кері жағдайда,} \end{array} \right. \mbox { барлық } n \ge 0 \mbox { үшін}.$$ Келесі шарт орындалатындай $a_0$ барлық мәндерін табыңыз: шексіз көп $n$ сандары үшін $a_n=A$ болатын $A$ саны бар.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2. $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. Барлық нақты $x$ және $y$ үшін $f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Аңшы және көзге көрінбейтін қоян жазықтықта келесі ойын ойнайды. Қоянның бастапқы нүктесі $A_0$, және аңшының бастапқы нүктесі $B_0$, екеуі бірдей екен. Ойынның $n-1$ раундтан кейін, қоян $A_{n-1}$ деген нүктеде түр, ал аңшы $B_{n-1}$ деген нүктеде түр. Ойынның $n$-інші раунд кезінде, келесі үш нәрсе ретінде орындалады.
(i) Қоян, көзге көрінбей, $A_{n-1}$ мен $A_{n}$ нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай $A_{n}$ деген нүктеге өтеді.
(ii) Бақылау аппараты аңшыға $P_{n}$ деген нүктені көрсетеді. Мұнда бақылау аппараты $P_{n}$ мен $A_{n}$ нүктелер арасында қашықтығы 1-ден аспайтынын ғана кепіл береді.
(iii) Аңшы, $B_{n-1}$ мен $B_{n}$ нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай, көрінетін бір $B_{n}$ деген нүктеге өтеді. Қоян қалай жүрсе де және бақылау аппараты қандай нүктелер көрсетсе де, $10^9$ раундтан кейін аңшы мен қоян арасында қашықтығы 100-ден аспайтынына кепіл ету үшін, аңшы қалай жүру керек өзіне әрқашан таңдай ала ма?
комментарий/решение(7)

---

Есеп №4. $\Omega$ деген шеңберінің бойында $RS$ диаметрі тес болатын $R$ және $S$ нүктелер белгіленген. $R$ нүктесінде $\Omega$-ны жанайтын $\ell$ түзуі сызылған. $S$ нүктесі $RT$ кесіндісінің ортасы болатын $T$ нүктесі алынған. $\Omega$-ның $RS$ кіші доғасында келесі шарт орындалатындай $J$ нүктесі алынған: $JST$ үшбұрышының сырттай сызылған $\Gamma$ шеңбері $\ell$ түзуімен екі әртүрлі нүктеде қиылысады. Осы $\Gamma$ шеңберінің мен $\ell$ түзуінің қиылысу нүктелерінен $K$ нүктесіне жақын нүктесін $A$ деп белгілейік. $AJ$ түзуі $\Omega$-ны екінші рет $K$ нүктесінде қияды. $KT$ түзуі $\Gamma$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №5. $N \ge 2$ бүтін саны берілген. ${N(N + 1)}$ ойыншы бар командасы қатарда түр, және оларда кез келген екеуінің бойлары бірдей емес. Жаттықтырушы ${N(N - 1)}$ ойыншыны алып тастап, қалған $2N$ ойыншыларының жаңа қатарында келесі $N$ шарт көруге келеді:
(1) бойлары ең ұзын екі ойыншының арасында ешкім жоқ,
(2) бойлары үшінші мен төртінші ең ұзын ойыншының арасында ешкім жоқ,
$\vdots$
$(N)$ бойлары ең кіші екі ойыншының арасында ешкім жоқ.
Осыны әрқашан істеуге мүмкіндігі бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6.  $x$ және $y$ бүтін сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болатын $(x,y)$ жұптығы примитивті нүкте болсын. Примитивті нүктелерден құралған $S$ шекті жиыны берілген. $S$-тің ішінен әрбір $(x,y)$ үшін $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$
комментарий/решение(3)

---