58-я Международная Математическая Oлимпиада
Бразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год
Есеп №1. Әрбір a0>1 бүтін саны үшін, a0, a1, a2, … тізбегін осылай анықтайық:
an+1={√an, егер √an — бүтін болса,an+3 кері жағдайда, барлық n≥0 үшін.
Келесі шарт орындалатындай a0 барлық мәндерін табыңыз: шексіз көп n сандары үшін an=A болатын A саны бар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. R — нақты сандар жиыны. Барлық нақты x және y үшін
f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) теңдеуін қанағаттандыратын барлық f:R→R функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Аңшы және көзге көрінбейтін қоян жазықтықта келесі ойын ойнайды. Қоянның бастапқы нүктесі A0, және аңшының бастапқы нүктесі B0, екеуі бірдей екен. Ойынның n−1 раундтан кейін, қоян An−1 деген нүктеде түр, ал аңшы Bn−1 деген нүктеде түр. Ойынның n-інші раунд кезінде, келесі үш нәрсе ретінде орындалады.
(i) Қоян, көзге көрінбей, An−1 мен An нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай An деген нүктеге өтеді.
(ii) Бақылау аппараты аңшыға Pn деген нүктені көрсетеді. Мұнда бақылау аппараты Pn мен An нүктелер арасында қашықтығы 1-ден аспайтынын ғана кепіл береді.
(iii) Аңшы, Bn−1 мен Bn нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай, көрінетін бір Bn деген нүктеге өтеді. Қоян қалай жүрсе де және бақылау аппараты қандай нүктелер көрсетсе де, 109 раундтан кейін аңшы мен қоян арасында қашықтығы 100-ден аспайтынына кепіл ету үшін, аңшы қалай жүру керек өзіне әрқашан таңдай ала ма?
комментарий/решение(4)
(i) Қоян, көзге көрінбей, An−1 мен An нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай An деген нүктеге өтеді.
(ii) Бақылау аппараты аңшыға Pn деген нүктені көрсетеді. Мұнда бақылау аппараты Pn мен An нүктелер арасында қашықтығы 1-ден аспайтынын ғана кепіл береді.
(iii) Аңшы, Bn−1 мен Bn нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай, көрінетін бір Bn деген нүктеге өтеді. Қоян қалай жүрсе де және бақылау аппараты қандай нүктелер көрсетсе де, 109 раундтан кейін аңшы мен қоян арасында қашықтығы 100-ден аспайтынына кепіл ету үшін, аңшы қалай жүру керек өзіне әрқашан таңдай ала ма?
комментарий/решение(4)
Есеп №4. Ω деген шеңберінің бойында RS диаметрі тес болатын R және S нүктелер белгіленген. R нүктесінде Ω-ны жанайтын ℓ түзуі сызылған. S нүктесі RT кесіндісінің ортасы болатын T нүктесі алынған. Ω-ның RS кіші доғасында келесі шарт орындалатындай J нүктесі алынған: JST үшбұрышының сырттай сызылған Γ шеңбері ℓ түзуімен екі әртүрлі нүктеде қиылысады. Осы Γ шеңберінің мен ℓ түзуінің қиылысу нүктелерінен K нүктесіне жақын нүктесін A деп белгілейік. AJ түзуі Ω-ны екінші рет K нүктесінде қияды. KT түзуі Γ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. N≥2 бүтін саны берілген. N(N+1) ойыншы бар командасы қатарда түр, және оларда кез келген екеуінің бойлары бірдей емес. Жаттықтырушы N(N−1) ойыншыны алып тастап, қалған 2N ойыншыларының жаңа қатарында келесі N шарт көруге келеді:
(1) бойлары ең ұзын екі ойыншының арасында ешкім жоқ,
(2) бойлары үшінші мен төртінші ең ұзын ойыншының арасында ешкім жоқ,
⋮
(N) бойлары ең кіші екі ойыншының арасында ешкім жоқ.
Осыны әрқашан істеуге мүмкіндігі бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
(1) бойлары ең ұзын екі ойыншының арасында ешкім жоқ,
(2) бойлары үшінші мен төртінші ең ұзын ойыншының арасында ешкім жоқ,
⋮
(N) бойлары ең кіші екі ойыншының арасында ешкім жоқ.
Осыны әрқашан істеуге мүмкіндігі бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. x және y бүтін сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болатын (x,y) жұптығы примитивті нүкте болсын. Примитивті нүктелерден құралған S шекті жиыны берілген. S-тің ішінен әрбір (x,y) үшін a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)