Математикадан 45-ші халықаралық олимпиада, 2004 жыл, Афины

Есеп №1. $AB\ne AC$ болатын $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышы берілсін. Диаметрі $BC$ болатын шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $M$ және $N$ қияды. $O$ нүктесі арқылы $BC$ қабырғасының ортасын белгілейік. $BAC$ және $MON$ бұрыштарының биссектрисалары $R$ нүктесінде қиылысады. $BMR$ және $CNR$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің $BC$ қабырғасында жататын ортақ нүктесі бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2.  $ab+bc+ca=0$ болатын кез келген $a$, $b$, $c$ нақты сандары үшін $P\left( a-b \right)+P\left( b-c \right)+P\left( c-a \right)=2P\left( a+b+c \right)$ теңдігі орындалатындай коэффициенттері нақты сан болатын $P\left( x \right)$ көпмүшеліктерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. 1-суретте көрсетілгендей алты бірлік квадраттан тұратын және сол фигурадан бұрулар және айналдырулар арқылы алынатын кез келген фигураларды ілгек деп атаймыз. Ілгектермен жауып шығуға болатын барлық $m\times n$ тіктөртбұрыштарын табыңыздар.

комментарий/решение

---

Есеп №4.  $n\ge 3$ саны натурал сан болсын. ${{n}^{2}}+1 > \left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+\dots+{{t}_{n}} \right)\left( \dfrac{1}{{{t}_{1}}}+\dfrac{1}{{{t}_{2}}}+\dots+\dfrac{1}{{{t}_{n}}} \right)$ болатындай ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, $\ldots $, ${{t}_{n}}$ сандары оң нақты сандар болсын. $1\le i < j < k\le n$ болатындай барлық $i$, $j$, $k$ үшін ${{t}_{i}}$, ${{t}_{j}}$, ${{t}_{k}}$ сандары үшбұрыштың қабырғалары болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №5. $ABCD$ дөңес төртбұрышында $BD$ диагоналі $ABC$ және $CDA$ бұрыштарының биссектрисалары болмайды. $ABCD$ төртбұрышының ішінде жататын $P$ нүктесі $\angle PBC=\angle DBA$, $\angle PDC=\angle BDA$ шарттарын қанағаттандырады. Дәлелдеңіздер: $ABCD$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызылады тек және тек сонда ғана, егер $AP=CP$.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №6. Натурал санды жолақ деп айтамыз, егер оның ондық жазбасындағы кез келген екі көршілес цифрларының жұптығы әр түрлі болса. Әрбірі үшін $n$ санына бөлінетін жолақ сан табылатындай барлық $n$ натурал сандарды табыңыздар.
комментарий/решение

---