Математикадан 45-ші халықаралық олимпиада, 2004 жыл, Афины

Есеп №1.

$AB\ne AC$ болатын

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышы берілсін. Диаметрі

$BC$ болатын шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$M$ және

$N$ қияды.

$O$ нүктесі арқылы

$BC$ қабырғасының ортасын белгілейік.

$BAC$ және

$MON$ бұрыштарының биссектрисалары

$R$ нүктесінде қиылысады.

$BMR$ және

$CNR$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің

$BC$ қабырғасында жататын ортақ нүктесі бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ab+bc+ca=0$ болатын кез келген

$a$ ,

$b$ ,

$c$ нақты сандары үшін

$P\left( a-b \right)+P\left( b-c \right)+P\left( c-a \right)=2P\left( a+b+c \right)$ теңдігі орындалатындай коэффициенттері нақты сан болатын

$P\left( x \right)$ көпмүшеліктерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. 1-суретте көрсетілгендей алты бірлік квадраттан тұратын және сол фигурадан бұрулар және айналдырулар арқылы алынатын кез келген фигураларды ілгек деп атаймыз. Ілгектермен жауып шығуға болатын барлық

$m\times n$ тіктөртбұрыштарын табыңыздар.

комментарий/решение

Есеп №4.

$n\ge 3$ саны натурал сан болсын.

${{n}^{2}}+1 > \left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+\dots+{{t}_{n}} \right)\left( \dfrac{1}{{{t}_{1}}}+\dfrac{1}{{{t}_{2}}}+\dots+\dfrac{1}{{{t}_{n}}} \right)$ болатындай

${{t}_{1}}$ ,

${{t}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{t}_{n}}$ сандары оң нақты сандар болсын.

$1\le i < j < k\le n$ болатындай барлық

$i$ ,

$j$ ,

$k$ үшін

${{t}_{i}}$ ,

${{t}_{j}}$ ,

${{t}_{k}}$ сандары үшбұрыштың қабырғалары болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$ABCD$ дөңес төртбұрышында

$BD$ диагоналі

$ABC$ және

$CDA$ бұрыштарының биссектрисалары болмайды.

$ABCD$ төртбұрышының ішінде жататын

$P$ нүктесі

$\angle PBC=\angle DBA$ ,

$\angle PDC=\angle BDA$ шарттарын қанағаттандырады. Дәлелдеңіздер:

$ABCD$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызылады тек және тек сонда ғана, егер

$AP=CP$ .
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Натурал санды жолақ деп айтамыз, егер оның ондық жазбасындағы кез келген екі көршілес цифрларының жұптығы әр түрлі болса. Әрбірі үшін

$n$ санына бөлінетін жолақ сан табылатындай барлық

$n$ натурал сандарды табыңыздар.
комментарий/решение

результаты