Математикадан 45-ші халықаралық олимпиада, 2004 жыл, Афины
Есеп №1. AB≠AC болатын ABC сүйірбұрышты үшбұрышы берілсін. Диаметрі BC болатын шеңбер AB және AC қабырғаларын сәйкесінше M және N қияды. O нүктесі арқылы BC қабырғасының ортасын белгілейік. BAC және MON бұрыштарының биссектрисалары R нүктесінде қиылысады. BMR және CNR үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің BC қабырғасында жататын ортақ нүктесі бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. ab+bc+ca=0 болатын кез келген a, b, c нақты сандары үшін P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c) теңдігі орындалатындай коэффициенттері нақты сан болатын P(x) көпмүшеліктерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. 1-суретте көрсетілгендей алты бірлік квадраттан тұратын және сол фигурадан бұрулар және айналдырулар арқылы алынатын кез келген фигураларды ілгек деп атаймыз. Ілгектермен жауып шығуға болатын барлық m×n тіктөртбұрыштарын табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. n≥3 саны натурал сан болсын. n2+1>(t1+t2+⋯+tn)(1t1+1t2+⋯+1tn) болатындай t1, t2, …, tn сандары оң нақты сандар болсын. 1≤i<j<k≤n болатындай барлық i, j, k үшін ti, tj, tk сандары үшбұрыштың қабырғалары болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. ABCD дөңес төртбұрышында BD диагоналі ABC және CDA бұрыштарының биссектрисалары болмайды. ABCD төртбұрышының ішінде жататын P нүктесі ∠PBC=∠DBA, ∠PDC=∠BDA шарттарын қанағаттандырады. Дәлелдеңіздер: ABCD төртбұрышына сырттай шеңбер сызылады тек және тек сонда ғана, егер AP=CP.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Натурал санды жолақ деп айтамыз, егер оның ондық жазбасындағы кез келген екі көршілес цифрларының жұптығы әр түрлі болса. Әрбірі үшін n санына бөлінетін жолақ сан табылатындай барлық n натурал сандарды табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение