45-я Международная Математическая Oлимпиада
Греция, Афины, 2004 год

Задача №1.  Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AB\ne AC$. Окружность с диаметром $BC$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Обозначим через $O$ середину стороны $BC$. Биссектрисы углов $BAC$ и $MON$ пересекаются в точке $R$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $BMR$ и $CNR$, имеют общую точку, лежащую на стороне $BC$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все многочлены $P\left( x \right)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие равенству $$P\left( a-b \right)+P\left( b-c \right)+P\left( c-a \right)=2P\left( a+b+c \right)$$ для любых действительных чисел $a$, $b$, $c$ таких, что $ab+bc+ca=0$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Назовем крюком фигуру, состоящую из шести единичных квадратов, как показано на рисунке ниже, а также любую фигуру, которую можно получить из нее с помощью поворотов и переворотов. Найдите все прямоугольники $m\times n$, которые можно замостить крюками.

комментарий/решение

---

Задача №4.  Пусть $n\ge 3$ натуральное число. Пусть ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, $\ldots$, ${{t}_{n}}$ — положительные действительные числа такие, что $${{n}^{2}}+1 > \left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+\dots+{{t}_{n}} \right)\left( \dfrac{1}{{{t}_{1}}}+\dfrac{1}{{{t}_{2}}}+\dots+\dfrac{1}{{{t}_{n}}} \right).$$ Докажите, что числа ${{t}_{i}}$, ${{t}_{j}}$, ${{t}_{k}}$ являются длинами сторон треугольника при всех $i$, $j$, $k$ таких, что $1\le i < j < k\le n$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №5.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ не является ни биссектрисой угла $ABC$, ни биссектрисой угла $CDA$. Точка $P$, лежащая внутри четырехугольника $ABCD$, удовлетворяет условиям: $\angle PBC=\angle DBA$, $\angle PDC=\angle BDA$. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ является вписанным тогда и только тогда, когда $AP=CP$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №6.  Назовем натуральное число полосатым, если любые две соседние цифры в его десятичной записи имеют разную четность. Найдите все натуральные $n$, для каждого из которых существует полосатое число, делящееся на $n$.
комментарий/решение

---