Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1997 год
Задача №1. Дано
S=1+11+13+11+13+16+⋯+11+13+16+⋯+11993006,
где знаменатели содержат частичные суммы последовательности обратных величин треугольных чисел (т.е. k=n(n+1)/2 для n=1,2,…,1996). Докажите, что S>1001.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите целое число n, где 1000≤n≤1997, такое, что
2n+2n
также является целым числом.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Пусть ABC — треугольник, вписанный в окружность и пусть
la=maMa , lb=mbMb , lc=mcMc,
где ma, mb, mc — длины биссектрис треугольника и Ma, Mb, Mc — длины биссектрис углов, продолженных до пересечения с окружностью. Докажите, что
lasin2A+lbsin2B+lcsin2C≥3,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда ABC — равносторонний треугольник.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Треугольник A1A2A3 имеет прямой угол при вершине A3. Последовательность точек определена следующим рекуррентным процессом. При всех натуральных n≥3 точка An+1 является основанием перпендикуляра, опущенного из точки An на прямую An−2An−1.
(a) Докажите, что если процесс продолжается бесконечно, тогда одна и только одна точка P является внутренней для любого треугольника An−2An−1An,n≥3.
(b) Пусть A1 и A3 — фиксированные точки. Предполагая всевозможные расположения точки A2 на плоскости, найдите геометрическое место точек местоположения точки P.
комментарий/решение(1)
(a) Докажите, что если процесс продолжается бесконечно, тогда одна и только одна точка P является внутренней для любого треугольника An−2An−1An,n≥3.
(b) Пусть A1 и A3 — фиксированные точки. Предполагая всевозможные расположения точки A2 на плоскости, найдите геометрическое место точек местоположения точки P.
комментарий/решение(1)
Задача №5. Предположим, что n человек A1,A2,…,An , (n≥3) сидят по кругу и Ai имеет ai предметов таких, что
a1+a2+⋯+an=nN,
где N — натуральное число. Для того, чтобы каждый человек имел одинаковое число предметов, каждый человек Ai должен отдать или принять определенное количество предметов от двух своих соседей Ai−1 и Ai+1. (Здесь An+1означает A1 и An означает A0.) Как данное распределение должно быть выполнено, чтобы общее число передаваемых предметов было минимальным.
комментарий/решение
комментарий/решение