Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1997 год


Задача №1.  Дано S=1+11+13+11+13+16++11+13+16++11993006, где знаменатели содержат частичные суммы последовательности обратных величин треугольных чисел (т.е. k=n(n+1)/2 для n=1,2,,1996). Докажите, что S>1001.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите целое число n, где 1000n1997, такое, что 2n+2n также является целым числом.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть ABC — треугольник, вписанный в окружность и пусть la=maMa , lb=mbMb , lc=mcMc, где ma, mb, mc — длины биссектрис треугольника и Ma, Mb, Mc — длины биссектрис углов, продолженных до пересечения с окружностью. Докажите, что lasin2A+lbsin2B+lcsin2C3, и равенство достигается тогда и только тогда, когда ABC — равносторонний треугольник.
комментарий/решение
Задача №4.  Треугольник A1A2A3 имеет прямой угол при вершине A3. Последовательность точек определена следующим рекуррентным процессом. При всех натуральных n3 точка An+1 является основанием перпендикуляра, опущенного из точки An на прямую An2An1.
(a) Докажите, что если процесс продолжается бесконечно, тогда одна и только одна точка P является внутренней для любого треугольника An2An1An,n3.
(b) Пусть A1 и A3 — фиксированные точки. Предполагая всевозможные расположения точки A2 на плоскости, найдите геометрическое место точек местоположения точки P.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Предположим, что n человек A1,A2,,An , (n3) сидят по кругу и Ai имеет ai предметов таких, что a1+a2++an=nN, где N — натуральное число. Для того, чтобы каждый человек имел одинаковое число предметов, каждый человек Ai должен отдать или принять определенное количество предметов от двух своих соседей Ai1 и Ai+1. (Здесь An+1означает A1 и An означает A0.) Как данное распределение должно быть выполнено, чтобы общее число передаваемых предметов было минимальным.
комментарий/решение