Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1997 год


Треугольник A1A2A3 имеет прямой угол при вершине A3. Последовательность точек определена следующим рекуррентным процессом. При всех натуральных n3 точка An+1 является основанием перпендикуляра, опущенного из точки An на прямую An2An1.
(a) Докажите, что если процесс продолжается бесконечно, тогда одна и только одна точка P является внутренней для любого треугольника An2An1An,n3.
(b) Пусть A1 и A3 — фиксированные точки. Предполагая всевозможные расположения точки A2 на плоскости, найдите геометрическое место точек местоположения точки P.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 месяца 29 дней назад #

Заметим, что при большем n длины сторон треугольников уменьшаются быстрее чем любая постоянная величина, поэтому если есть хотя бы две точки X,Y, то XY при достаточно большом n будет больше, чем расстояние между любыми двумя точками в треугольнике. Это означает, что точек может быть не более одной. Треугольник δn(n3) будет треугольником An2An1An. Заметим, что для получения δi+1 из δi, кроме преобразований подобий, нужно также и нечетное количество осевых симметрий. Таким образом, можно разделить множество δi на те, что с ytчетным i () и те, что с четным i (). Теперь нужно лишь придумать конструкцию точки X, общей для всех , и Y, общей для всех , а после - показать их совпадение. Нетрудно осознать, что раз точка X общая всех , то во всех данных подобных δi она имеет один и тот же "смысл". Это наводит на мысль о том, что X - центр поворотной гомотетии. Действительно, отметим центр поворотной гомотетии, который δ3 переводит в δ5, тогда не будет трудно убедится, что эта поворотная гомотетия также переводит δ5 в δ7. По индукции получим требуемое. Также будет несложно показать, что центр поворотной гомотетии множества совпадает с центром поворотной гомотетии множества , поэтому (a) решен. Пункт (b) следует из соображений о поворотной гомотетии, а значит в ответе будет фигурировать множество точек на окружности с диаметром A1A3.