Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1997 год

Треугольник ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}$ имеет прямой угол при вершине ${{A}_{3}}$. Последовательность точек определена следующим рекуррентным процессом. При всех натуральных $n\ge 3$ точка ${{A}_{n+1}}$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки ${{A}_{n}}$ на прямую ${{A}_{n-2}}{{A}_{n-1}}$.
(a) Докажите, что если процесс продолжается бесконечно, тогда одна и только одна точка $P$ является внутренней для любого треугольника \[{{A}_{n-2}}{{A}_{n-1}}{{A}_{n}} , \quad n\ge 3. \]
(b) Пусть ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{3}}$ — фиксированные точки. Предполагая всевозможные расположения точки ${{A}_{2}}$ на плоскости, найдите геометрическое место точек местоположения точки $P$.

Комментарий/решение

Заметим, что при большем $n$ длины сторон треугольников уменьшаются быстрее чем любая постоянная величина, поэтому если есть хотя бы две точки $X,Y$, то $XY$ при достаточно большом $n$ будет больше, чем расстояние между любыми двумя точками в треугольнике. Это означает, что точек может быть не более одной. Треугольник $\delta_n (n\geq 3)$ будет треугольником $A_{n-2}A_{n-1}A_n$. Заметим, что для получения $\delta_{i+1}$ из $\delta_{i}$, кроме преобразований подобий, нужно также и нечетное количество осевых симметрий. Таким образом, можно разделить множество $\delta_i$ на те, что с ytчетным $i$ ($\aleph$) и те, что с четным $i$ ($\beth$). Теперь нужно лишь придумать конструкцию точки $X$, общей для всех $\aleph$, и $Y$, общей для всех $\beth$, а после - показать их совпадение. Нетрудно осознать, что раз точка $X$ общая всех $\aleph$, то во всех данных подобных $\delta_i$ она имеет один и тот же "смысл". Это наводит на мысль о том, что $X$ - центр поворотной гомотетии. Действительно, отметим центр поворотной гомотетии, который $\delta_3$ переводит в $\delta_5$, тогда не будет трудно убедится, что эта поворотная гомотетия также переводит $\delta_5$ в $\delta_7$. По индукции получим требуемое. Также будет несложно показать, что центр поворотной гомотетии множества $\aleph$ совпадает с центром поворотной гомотетии множества $\beth$, поэтому $(a)$ решен. Пункт $(b)$ следует из соображений о поворотной гомотетии, а значит в ответе будет фигурировать множество точек на окружности с диаметром $A_1A_3$.