Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. Дене шынықтыру сабағында 8а сыныбының барлық оқушылары бір қатарға тізіліп тұрды. Сол қатарда ұлдар мен қыздар кезектесіп тұрды. 8а сыныбының дәл $52 \%$ ұлдар екені белгілі. Осы сыныптағы қыздар санын анықтаңыз. Жауабын негіздеуді ұмытпаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Аралда 1000 ауыл және әрқайсысында 99 тұрғын бар. Аралдын әр тұрғыны әрқашан да шындықты айтатын сері, немесе әрқашан да өтірік айтатын өтірікші. Сонымен қатар аралда дәл 54054 сері бар екені белгілі. Күндердің бірінде тұрғындардың әрқайсысына: «Сіздердің ауылдарыңызда кімдер көп: серілер ма әлде өтірікшілер ма?» деген сұрақ қойылды. Осы сұраққа әр ауылдан 66 адам: «ауылда серілер көп» деп, ал әр ауылдан қалған 33 адам: «өтірікшілер саны көп» деп жауап берді. Аралда серілер саны өтірікшілер санынан көп болатын неше ауыл бар?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $BL$ биссектрисасы жүргізілген, ал оның $L$ нүктесінен ары қарай созындысында $LK=AB$ болатындай $K$ нүктесі алынған. Егер $AK \parallel BC$ болса, $AB > BC$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $15 \times 15$ квадраты $1 \times 1$ шаршыларына бөлінген. Осы шаршылардан бірнешеуін таңдап алып, әрқайсысында бір немесе екі диагоналін жүргізген. Жүргізілген диагональдар арасында ешқандай екеуінің ортақ соңы жоқ екені белгілі. Ең көп дегенде қанша диагональ жүргізілуі мүмкін? (Есепті шешу барысында жауабын, диагональдарды жүргізу әдісін және осы диагональдар саны ең көп екенін дәлелде.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Жолға қатар келген бес таңбалы 2011 сан жазылған. 21-ші санның цифрларының қосындысы 37-ге тең, ал 54-ші санның цифрларының қосындысы 7-ге тең екені белгілі. 2011-ші санның цифрларының қосындысын табыңыз. (барлық мүмкін варианттырды көрсетіп, басқа варианттар жоқ екенін дәлелдеңдер).
комментарий/решение(1)