қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2025-2026 учебный год. 7 класс.
Задача №1. Два человека, работая вместе, могут выполнить всю работу за 2 часа. Если первый человек выполняет эту же работу один, то ему потребуется 3 часа. За сколько часов время сможет выполнить всю работу один второй человек?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
комментарий/решение
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
комментарий/решение
Задача №2. Арман проходит пешком 4 километра в час, а бегом — 6 километров в час. Если вместо того чтобы идти пешком до школы, он бежит, то приходит на 3 минуты 45 секунд раньше. На каком расстоянии (в км) от школы находится дом Армана?
A) 0,375
B) 0,75
C) 1
D) 1,5
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
A) 0,375
B) 0,75
C) 1
D) 1,5
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
Задача №3. В учреждении работают 64 мужчины и 64 женщины. Если каждому работнику выплачивается 64 тиын в месяц, сколько всего тиын будет выплачено всем сотрудникам учреждения за один месяц?
A) $2^{6}$
B) $2^{12}$
C) $2^{13}$
D) $2^{24}$
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
A) $2^{6}$
B) $2^{12}$
C) $2^{13}$
D) $2^{24}$
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
Задача №4. Найдите наименьший простой делитель суммы чисел $7^{2025}$ и $8^{2025}$.
A) 2
B) 3
C) 5
D) 13
E) 11
комментарий/решение
A) 2
B) 3
C) 5
D) 13
E) 11
комментарий/решение
Задача №5. Ниже приведены координаты пяти точек. Известно, что четыре из этих точек лежат на одной прямой. Какая из них является пятой (то есть не лежит на этой прямой)?
A) $(6, 11)$
B) $(5, 5)$
C) $(4, 7)$
D) $(8, 15)$
E) $(2, 3)$
комментарий/решение
A) $(6, 11)$
B) $(5, 5)$
C) $(4, 7)$
D) $(8, 15)$
E) $(2, 3)$
комментарий/решение
Задача №6. В прошлом году мобильный телефон стоил 630 долларов, а зарядное устройство — 70 долларов. В этом году цена телефона увеличилась на $5\%$, а цена зарядного устройства — на $10 \%$. На сколько процентов возросла общая стоимость телефона и зарядного устройства в этом году?
A) $4 \%$
B) $3,5 \%$
C) $5 \%$
D) $5,5 \%$
E) $7 \%$
комментарий/решение
A) $4 \%$
B) $3,5 \%$
C) $5 \%$
D) $5,5 \%$
E) $7 \%$
комментарий/решение
Задача №7. На окружности отмечены 5 точек. Сколько треугольников можно построить, выбрав вершины из этих точек?
A) 10
B) 20
C) 21
D) 12
E) 5
комментарий/решение
A) 10
B) 20
C) 21
D) 12
E) 5
комментарий/решение
Задача №8. Известно, что $225!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 225$. Сколькими нулями оканчивается число $225!$?
A) 55
B) 12
C) 34
D) 279
E) 18
комментарий/решение
A) 55
B) 12
C) 34
D) 279
E) 18
комментарий/решение
Задача №9. В пункте проката транспортных средств установлены следующие тарифы: суточная ставка аренды автомобиля составляет 10000 тенге, и дополнительно взимается плата в размере 240 тенге за каждый пройденный километр. У Армана есть 40000 тенге. Сколько километров он сможет проехать, если арендует автомобиль на один день?
A) 125
B) 225
C) 120
D) 130
E) 250
комментарий/решение
A) 125
B) 225
C) 120
D) 130
E) 250
комментарий/решение
Задача №10. Шкафчики в средней школе №500 пронумерованы с 1 по 500. Начиная счет со шкафчика 1, каждый шестой шкафчик имеет синюю наклейку, каждый девятый шкафчик имеет желтую наклейку, и каждый десятый шкафчик имеет зеленую наклейку. Сколько шкафчиков имеют все три наклейки?
A) 12
B) 55
C) 5
D) 83
E) 188
комментарий/решение
A) 12
B) 55
C) 5
D) 83
E) 188
комментарий/решение
Задача №11. Арман с помощью весов определил, что масса одной книги и одной тетради равна массе одной сумки. Масса одной книги равна массе одной ручки и одной тетради, а масса трёх ручек равна массе одной тетради. Тогда массе скольких ручек равна масса одной сумки?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
комментарий/решение
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
комментарий/решение
Задача №12. Как показано на рисунке, прямые $AB$ и $CD$ параллельны, при этом $\angle ABC=40^{\circ}$ и $\angle ADE=145^{\circ}$. Найдите величину угла $\angle AOC$.
A) $45^{\circ}$
B) $30^{\circ}$
C) $72^{\circ}$
D) $90^{\circ}$
E) $75^{\circ}$
комментарий/решение
A) $45^{\circ}$
B) $30^{\circ}$
C) $72^{\circ}$
D) $90^{\circ}$
E) $75^{\circ}$
комментарий/решение
Задача №13. Известно, что $\frac{a}{b}=\frac{4}{3}, \frac{c}{d}=\frac{3}{2}$. Если $\frac{\mathrm{d}}{b}=\frac{1}{6}$, то найдите отношение $\frac{a}{c}$.
A) $\frac{3}{12}$
B) 12
C) $\frac{20}{3}$
D) $\frac{16}{3}$
E) $\frac{1}{3}$
комментарий/решение
A) $\frac{3}{12}$
B) 12
C) $\frac{20}{3}$
D) $\frac{16}{3}$
E) $\frac{1}{3}$
комментарий/решение
Задача №14. Если 3 яблока и 2 груши стоят 1300 тенге, а 6 яблок и 1 груша — 2000 тенге, то сколько тенге будут стоить 2 яблока и 2 груши?
A) 1400
B) 1200
C) 1000
D) 500
E) 600
комментарий/решение
A) 1400
B) 1200
C) 1000
D) 500
E) 600
комментарий/решение
Задача №15. Вычислите: $\left(3^{-1}-2^{-1}\right)^{-1}.$
A) 6
B) $-\frac{1}{6}$
C) $-1$
D) $\frac{1}{6}$
E) $-6$
комментарий/решение
A) 6
B) $-\frac{1}{6}$
C) $-1$
D) $\frac{1}{6}$
E) $-6$
комментарий/решение
Задача №16. У Армана уроки начались в 8:00 утра. В школе он провёл 7 часов, а дорога домой заняла ещё 20 минут. Найдите величину угла между часовой и минутной стрелками часов в тот момент, когда Арман пришёл домой.
A) $30^{\circ}$
B) $20^{\circ}$
C) $24^{\circ}$
D) $6^{\circ}$
E) $36^{\circ}$
комментарий/решение
A) $30^{\circ}$
B) $20^{\circ}$
C) $24^{\circ}$
D) $6^{\circ}$
E) $36^{\circ}$
комментарий/решение
Задача №17. Науан составил три двузначных простых числа $p, q$ и $r$, используя цифры $1,3,4,6,8$ и 9 каждую ровно один раз. Если $p > q > r$, найдите значение выражения $p-q+r$.
A) 29
B) 71
C) 67
D) 63
E) 55
комментарий/решение
A) 29
B) 71
C) 67
D) 63
E) 55
комментарий/решение
Задача №18. Найдём количество решений уравнения $|x-2|+|x-3|=2$ в множестве действительных чисел.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 0
комментарий/решение
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 0
комментарий/решение
Задача №19. Все ученики, готовившиеся к Новому году, одеты в красное. Только одна треть из всех, кто одет в красное, — это ученики. Ровно половина организаторов одета в красное. По имеющейся информации, известно, что ровно один ученик является также организатором, и ровно 8 организаторов одеты в красное. Если общее количество людей в красном составляет 90, то сколько человек, кроме учеников и организаторов, одеты в красное?
A) 45
B) 38
C) 37
D) 52
E) 53
комментарий/решение
A) 45
B) 38
C) 37
D) 52
E) 53
комментарий/решение
Задача №20. В системе координат точку $A(a, b)$ отразили относительно оси $Oy$ и получили точку $B(c, d)$. Затем точку $B$ отразили относительно оси $Ox$ и получили точку $C(e, f)$. Найдите значение разности $ab-ef$.
A) $4 d$
B) $2 c$
C) $2 b$
D) $2 a$
E) 0
комментарий/решение
A) $4 d$
B) $2 c$
C) $2 b$
D) $2 a$
E) 0
комментарий/решение
Задача №21. Для скольких целых значений $x$ выражение $\frac{6 x+3}{2 x-1}$ принимает целое значение?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
комментарий/решение
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
комментарий/решение
Задача №22. В данном ряду чисел $4, 9, 19, ?, 79, 159$ пропущено четвертое число. Найдите сумму цифр этого пропущенного числа.
A) 5
B) 11
C) 12
D) 14
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
A) 5
B) 11
C) 12
D) 14
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
Задача №23. Даны ненулевые числа $x, y, z$, такие что $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$. Найдите значение выражения $\frac{xy-2 yz+xz}{x^{2}-2 y^{2}+z^{2}}$.
A) $-\frac{11}{13}$
B) $-\frac{14}{11}$
C) 0
D) $\frac{11}{14}$
E) $\frac{14}{25}$
комментарий/решение
A) $-\frac{11}{13}$
B) $-\frac{14}{11}$
C) 0
D) $\frac{11}{14}$
E) $\frac{14}{25}$
комментарий/решение
Задача №24. Сколько существует 7-значных натуральных чисел, составленных только из цифр 0 и 1, и которые делятся на 6?
A) 5
B) 10
C) 11
D) 12
E) 6
комментарий/решение
A) 5
B) 10
C) 11
D) 12
E) 6
комментарий/решение
Задача №25. Обозначим через $s(x)$ сумму цифр натурального числа $x$ (например: $s(2025)=2+0+2+5=9$). Найдите наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее условию $n=59 s(n)$.
A) 4779
B) 59
C) 9
D) 531
E) 2025
комментарий/решение
A) 4779
B) 59
C) 9
D) 531
E) 2025
комментарий/решение
Задача №26. Если $\text{ДРАМА} + \text{ДРАМА} = \text{ТЕАТР}$, то найдите наибольшее возможное значение произведения $\text{ӘН}\cdot \text{СӘН}$ (здесь разные буквы обозначают разные цифры).
A) 12042
B) 61734
C) 20532
D) 22764
E) 23504
комментарий/решение
A) 12042
B) 61734
C) 20532
D) 22764
E) 23504
комментарий/решение
Задача №27. Вычислите сумму: $$ \frac{2+3+\cdots +200}{1}+\frac{3+4+\cdots +200}{1+2}+\cdots +\frac{199+200}{1+2+\cdots +198}+\frac{200}{1+2+\cdots +199}.$$
A) 50500
B) 40000
C) 39800
D) 14252
E) 1002
комментарий/решение
A) 50500
B) 40000
C) 39800
D) 14252
E) 1002
комментарий/решение
Задача №28. Дана система уравнений $\left\{\begin{array}{l}kx+y=1 \\ x+ky=1\end{array}\right.$. Для всех значений $k$, при которых система имеет единственное решение, какое из следующих утверждений верно?
A) $k=1$
B) $k=-1$
C) $k \geq 0$
D) $k \neq \pm 1$
E) $k \leq 2$
комментарий/решение
A) $k=1$
B) $k=-1$
C) $k \geq 0$
D) $k \neq \pm 1$
E) $k \leq 2$
комментарий/решение
Задача №29. Сколько пар натуральных чисел $(a, b)$ удовлетворяют равенству: $a^{2} b=20^{26}$?
A) 676
B) 378
C) 338
D) 200
E) 128
комментарий/решение
A) 676
B) 378
C) 338
D) 200
E) 128
комментарий/решение
Задача №30. Найдите остаток от деления суммы $1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+3 \cdot 4 \cdot 5+\cdots +2023 \cdot 2024 \cdot 2025$ на 2026.
A) 0
B) 6
C) 1012
D) 1014
E) 564
комментарий/решение
A) 0
B) 6
C) 1012
D) 1014
E) 564
комментарий/решение