қазақша
русский42-я Балканская математическая олимпиада. Сараево, Босния и Герцеговины, 2025 год
Есеп №1. Бүтін сан $n > 1$ жақсы деп аталады, егер 1, 2, 3, $\ldots$, $n$ сандарының қандай да бір ауыстыруы $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, $a_n$ бар болып, келесі шарттар орындалса:
$a_i$ мен $a_{i+1}$ үшін әрбір $1\le i\le n-1$ теңсіздігіне олардың парлықтары әртүрлі болады;
әрбір $1\le k\le n$ үшін $a_1+a_2+\ldots+a_k$ қосындысы $n$ модулі бойынша квадраттық қалдық болады. Жақсы сандар шексіз көп екенін, сондай-ақ жақсы емес сандар да шексіз көп екенін дәлелдеңіз.
Ескерту: Бүтін сан $x$ саны $n$ модулі бойынша квадраттық қалдық деп аталады, егер $x\equiv y^2 \pmod n$ болатындай бүтін $y$ саны табылса.
комментарий/решение(5)
$a_i$ мен $a_{i+1}$ үшін әрбір $1\le i\le n-1$ теңсіздігіне олардың парлықтары әртүрлі болады;
әрбір $1\le k\le n$ үшін $a_1+a_2+\ldots+a_k$ қосындысы $n$ модулі бойынша квадраттық қалдық болады. Жақсы сандар шексіз көп екенін, сондай-ақ жақсы емес сандар да шексіз көп екенін дәлелдеңіз.
Ескерту: Бүтін сан $x$ саны $n$ модулі бойынша квадраттық қалдық деп аталады, егер $x\equiv y^2 \pmod n$ болатындай бүтін $y$ саны табылса.
комментарий/решение(5)
Есеп №2. $ABC$ — ортоцентрі $H$ нүктесі болатын сүйір бұрышты үшбұрыш болсын, ал $D$ — $BC$ қабырғасында $B$ және $C$ нүктелерінен өзгеше кез келген нүкте болсын. $E$ және $F$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $AC$ кесінділерінде жатыр әрі $ABDF$ және $ACDE$ шеңберге іштей сызылған төртбұрыштар. $BF$ және $CE$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $L$ — $HA$ түзуінде орналасқан сондай нүкте, $LC$ түзуі үшбұрыштың $PBC$ сырттай шеңберіне $C$ нүктесінде жанасады. $BH$ және $CP$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысады. $D$, $L$ және $X$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Барлық нақты $x$ және $y$ сандары үшін $$f(x + y f(x)) + y = xy + f(x + y)$$ теңдігі орындалатындай барлық $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Есеп №4. Бір елде $n$ қала бар, мұнда $n \ge 100$ — бүтін сан. Кейбір қала жұптары екіжақты рейстермен қосылған. Екі $A$ және $B$ қала үшін келесі анықтамалар енгізіледі:
жол — бұл әр түрлі қалалардың тізбегі $A=C_0,C_1,\ldots,C_k,C_{k+1}=B$, $k \ge 0$, мұнда әрбір $0\le i\le k$ үшін $C_i$ мен $C_{i+1}$ арасында рейс бар;
ұзын жол — $A$ мен $B$ арасындағы жол, мұндай жолдан артық қала қамтитын басқа жол жоқ;
қысқа жол — $A$ мен $B$ арасындағы жол, мұндай жолдан аз қала қамтитын басқа жол жоқ. Әрбір қала жұбы $A$ және $B$ үшін ұзын және қысқа жолдар бар деп ұйғарайық, және олар ортақ қалаға тек $A$ және $B$ нүктелерінде ғана ие болады. $F$ — елдегі барлық рейстердің жалпы саны болсын. $n$-ге тәуелді барлық мүмкін болатын $F$ мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)
жол — бұл әр түрлі қалалардың тізбегі $A=C_0,C_1,\ldots,C_k,C_{k+1}=B$, $k \ge 0$, мұнда әрбір $0\le i\le k$ үшін $C_i$ мен $C_{i+1}$ арасында рейс бар;
ұзын жол — $A$ мен $B$ арасындағы жол, мұндай жолдан артық қала қамтитын басқа жол жоқ;
қысқа жол — $A$ мен $B$ арасындағы жол, мұндай жолдан аз қала қамтитын басқа жол жоқ. Әрбір қала жұбы $A$ және $B$ үшін ұзын және қысқа жолдар бар деп ұйғарайық, және олар ортақ қалаға тек $A$ және $B$ нүктелерінде ғана ие болады. $F$ — елдегі барлық рейстердің жалпы саны болсын. $n$-ге тәуелді барлық мүмкін болатын $F$ мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)