Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2020 год

Есеп №1. $\text{ЕҮОБ}(a, b)=24$, $\text{ЕҮОБ}(b, c)=36$, $\text{ЕҮОБ}(c, d)=54$, $70 < \text{ЕҮОБ}(d, a) < 100$ болатындай $a, b, c$ және $d$ натурал сандары берілсін. $a$ санының ең үлкен жай бөлгішін табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №2. Бір бұрышы $\angle C=90^\circ$ болатындай, $ABC$ үшбұрышы берілсін. ${AC:BC}={5:6}$ және $AB=122$ екені белгілі. Егер $ABC$ үшбұрышында $CD$ биіктігін жүргізсек, $BD$-ны табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №3. Балақай, картоннан жасалған дұрыс 67-бұрышты көпбұрышты түзу жүргізіп екі бөлікке бөлді. Сосын, пайда болған екі бөліктің біреуін дәл солай бөлді, кейін тағы да пайда болған үш бөліктің біреуін түзумен бөлді, және дәл солай әрі қарай жалғастырып кетті. Соңында, $n$ бұрышты 8 көпбұрыш пайда болды. $n$ санының барлық мүмкін мәндерін табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №4. $P(x)=(x-1^2)(x-2^2)\ldots(x-100^2)$ деп алайық. $P(n) \le 0$ болатындай, барлық натурал $n$ сандарының санын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының $AB$ кесіндісінде $D$ нүктесін белгілейік. $BC = 74,$ $AC = 30,$ $AB = 88,$ $AD = 28$ екені белгілі. $CD$-ны табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №6. $a$ нақты саны үшін $\sqrt{49-a^2}-\sqrt{25-a^2}=3$ теңдігі орындалсын. $\sqrt{49-a^2}+\sqrt{25-a^2}$ өрнегінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №7. $ABC$ үшбұрышында $AB = 13,$ $BC = 15$ және $AC = 14$ екені белгілі. $BP$ және $BQ$ — сәйкесінше $ABC$ үшбұрышының биіктігі және биссектрисасы. $BPQ$ үшбұрышының ауданын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №8. $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ жиынының неше ішкі жиынтығында кем дегенде бір жай сан бар?
комментарий/решение

Есеп №9. $a_1+a_2+\ldots a_{10}=1001$ теңдігі орындалатындай, $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{10}$ натурал сандары берілсін. $d=\text{ЕҮОБ}(a_1,a_2,\ldots ,a_{10})$ болсын. $d$ санының мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №10. Футбол жарысында кез-келген екі құрама бір-бірімен дәл бір рет ойнады. Жарыс соңында, ешқандай екі команда бірдей ұпай жинамағандығы белгілі болды. Сонымен қатар, 20 құрама ешқандай ойында ұтпағаны белгілі. Жарыста ең кем дегенде неше құрама қатысты? (Футбол ойынында жеңіліс үшін 0 ұпай, тең ойын үшін 1 ұпай, жеңіс үшін 3 ұпай береді.)
комментарий/решение