қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2020 год
Задача №1. Пусть $a, b, c$ и $d$ такие натуральные числа, что $\text{НОД}(a, b)=24$, $\text{НОД}(b, c)=36$, $\text{НОД}(c, d)=54$, $70 < \text{НОД}(d, a) < 100$. Найдите наибольший простой делитель числа $a.$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Дан треугольник $ABC$ в котором $\angle C=90^\circ$. Известно, что ${AC:BC}={5:6}$ и $AB=122$. Если $CD$ высота треугольника $ABC$, то найдите $BD$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Мальчик разрезал правильный картонный 67-угольник по прямой на два многоугольника, затем таким же образом разрезал один из двух получившихся многоугольников, затем — один из трёх получившихся, и так далее. В итоге у него получилось восемь $n$-угольников. Найдите все возможные значения $n$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Обозначим $P(x)=(x-1^2)(x-2^2)\ldots(x-100^2)$. Найдите количество натуральных $n$ таких, что $P(n) \le 0$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. На стороне $AB$ $\triangle ABC$ отмечена точка $D$. Известно, что $BC = 74,$ $AC = 30,$ $AB = 88,$ $AD = 28.$ Найдите $CD.$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Пусть для действительного числа $a$ выполнено равенство $\sqrt{49-a^2}-\sqrt{25-a^2}=3.$ Вычислите значение выражения $\sqrt{49-a^2}+\sqrt{25-a^2}.$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. В $\triangle ABC$ $AB = 13,$ $BC = 15$ и $AC = 14.$ Отрезки $BP$ и $BQ$ — соответственно высота и биссектриса $\triangle ABC$. Найдите $S_{BPQ}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Сколько подмножеств множества $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ содержат хотя бы одно простое число?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №9. Даны натуральные числа $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{10}$ для которых выполнено равенство $a_1+a_2+\ldots a_{10}=1001.$ Пусть $d=\text{НОД}(a_1,a_2,\ldots ,a_{10})$. Найдите наибольшее значение числа $d$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №10. На турнире по футболу любые две команды сыграли между собой ровно один раз. После подведения итого оказалось, что нет двух команд, набравших одинаковое количество очков. Также известно, что 20 команд не одержало ни одной победы. Каково наименьшее возможное количество команд могло участвовать в турнире? (В игре футбол за поражение дают 0 очков, за ничью — 1 очко, за победу — 3 очка.)
комментарий/решение
комментарий/решение