Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 7 класс.

Задача №1. Пусть

$n$ — натуральное число. Какое наибольшее количество чисел среди

$n,$

$4n+17,$

$7n+1,$

$9n+7$ могут быть простыми?
комментарий/решение(6)

Задача №2. Точка

$M$ — середина основания

$AB$ равнобедренного треугольника

$ABC$

$\left( AC=BC \right)$ . На сторонах

$AC$ и

$BC$ выбраны точки

$K$ и

$L$ соответственно так, что точка

$M$ равноудалена от прямых

$AC$ и

$KL$ . Докажите, что

$AK+BL\ge AB$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. На олимпиаде школьников по математике участникам было предложено 4 задач, каждая из которых оценивалось целым числом баллов от 0 до 10. После подведения итогов олимпиады, оказалось, что никакие два участника не показали одинаковый результат, и сумма баллов четырех участников, набравших наибольшее количество баллов, составляет ровно

$1/4$ часть от общего числа баллов, набранных всеми участниками вместе. Найдите наибольшее возможное количество участников олимпиады.
комментарий/решение(3)