Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 7 класс.

На олимпиаде школьников по математике участникам было предложено 4 задач, каждая из которых оценивалось целым числом баллов от 0 до 10. После подведения итогов олимпиады, оказалось, что никакие два участника не показали одинаковый результат, и сумма баллов четырех участников, набравших наибольшее количество баллов, составляет ровно $1/4$ часть от общего числа баллов, набранных всеми участниками вместе. Найдите наибольшее возможное количество участников олимпиады.

Комментарий/решение

28 участников

Ответ:$34$

Решение:Пусть количество участников-$n$.И пусть $a_i$ это баллы набранные каким то челом а $S$-сумма всех участников.Пусть $a_i<a_j$ если $i<j$.$$S=\sum \limits_{i=1}^{n}{a_i}=4(a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n)\leq 4(37+38+39+40)=616 (1)$$

С другой стороны $$a_1\geq 0,a_2\geq1,\cdots,a_n\geq n-1 \Rightarrow S\geq \dfrac{(n-1)n}{2} (2)$$.Если $n\geq 36$ то $$S\geq \dfrac{(36-1)(36)}{2}=630\geq 616$$ а это противоречие $(1) \Rightarrow n\leq 35$ для $n=35$ будет $\sum \limits_{i=1}^{31}{a_i}=\dfrac{3}{4}S\geq 0+1+2+\cdots +31=465 \Rightarrow S\geq 620>616$ а это противоречие $(1)$.А для $n=34$ будет вот такой пример:$0,1,2,3\cdots29,34,36,37,38$ которое соблюдает все условия