Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 7 класс.

Математикадан олимпиадаға қатысқан оқушыларға 4 есеп берілді. Әрбір есеп 0-ден 10-ға дейінгі бүтін сан болатын ұпаймен бағаланды. Олимпиаданың қорытындысын шығарғаннан кейін, кез келген екі қатысушы бірдей ұпай санын жинамағаны және ең көп ұпай жинаған төрт қатысушының ұпайларының қосындысы барлық қатысушының ұпайларының қосындысының дәл $1/4$ бөлігін құрағаны белгілі болды. Олимпиадаға қатысқан оқушылардың ең үлкен мүмкін санын табыңыз.

Комментарий/решение

28 участников

Ответ:$34$

Решение:Пусть количество участников-$n$.И пусть $a_i$ это баллы набранные каким то челом а $S$-сумма всех участников.Пусть $a_i<a_j$ если $i<j$.$$S=\sum \limits_{i=1}^{n}{a_i}=4(a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n)\leq 4(37+38+39+40)=616 (1)$$

С другой стороны $$a_1\geq 0,a_2\geq1,\cdots,a_n\geq n-1 \Rightarrow S\geq \dfrac{(n-1)n}{2} (2)$$.Если $n\geq 36$ то $$S\geq \dfrac{(36-1)(36)}{2}=630\geq 616$$ а это противоречие $(1) \Rightarrow n\leq 35$ для $n=35$ будет $\sum \limits_{i=1}^{31}{a_i}=\dfrac{3}{4}S\geq 0+1+2+\cdots +31=465 \Rightarrow S\geq 620>616$ а это противоречие $(1)$.А для $n=34$ будет вот такой пример:$0,1,2,3\cdots29,34,36,37,38$ которое соблюдает все условия