Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 7 класс.

Математикадан олимпиадаға қатысқан оқушыларға 4 есеп берілді. Әрбір есеп 0-ден 10-ға дейінгі бүтін сан болатын ұпаймен бағаланды. Олимпиаданың қорытындысын шығарғаннан кейін, кез келген екі қатысушы бірдей ұпай санын жинамағаны және ең көп ұпай жинаған төрт қатысушының ұпайларының қосындысы барлық қатысушының ұпайларының қосындысының дәл $1/4$ бөлігін құрағаны белгілі болды. Олимпиадаға қатысқан оқушылардың ең үлкен мүмкін санын табыңыз.

Комментарий/решение

28 участников

Из условия выходит что набранные баллы за $4$ лежат в ряде $0,1,2,3,...40$ и количество участников $\leq 40$

Пусть последние 4 участника набрали $37,38,39,40$ попробуем поискать такой ряд $S=a+[b+b+1+b+2...+37+38+39+40]$ тогда $S=4(37+38+39+40)=616$ тогда $a+\dfrac{40 \cdot 41-b(b+1)}{2} = 616$ откуда $b=\dfrac{\sqrt{8a+1633}-1}{2}, \ 0<a<40$ тогда $8a+1633=c^2$ небольшим перебором выходит что $a=6,\ b=20$

Тогда получаем $S=6+(21+22+...+37+38+39+40)=616$ в этом ряду $21$ чисел, увеличим первое число на такое число, чтобы она не входило в сумму взятую из скобок (возьмем одно число из скобок и разобьем ее на сумму разных чисел) возьмем большее число $36=1+2+3+4+5+6+7+8$ так как его можно разбить на большее количество слагаемых, и его же убираем в скобках, один из примеров

$1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 14 \ 15 \ 20\ 23\ 24\ 25 \ 26 \ 27 \ 28 \ 29\ 30\ 31\ 32\ 33\ 34\ 35\ 37\ 38\ 39\ 40$ отметим что максимально большее число которое можно взять из скобок(так как в этом случае число слагаемых увеличивается) это $36$ так как четыре последних начинает от $37$ то есть всего $28$ чисел, но так как участник может набрать и $0$ баллов, то ответ $29$

Ответ:$34$

Решение:Пусть количество участников-$n$.И пусть $a_i$ это баллы набранные каким то челом а $S$-сумма всех участников.Пусть $a_i<a_j$ если $i<j$. $$S=\sum \limits_{i=1}^{n}{a_i}=4(a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n)\leq 4(37+38+39+40)=616 (1)$$

С другой стороны $$a_1\geq 0,a_2\geq1,\cdots,a_n\geq n-1 \Rightarrow S\geq \dfrac{(n-1)n}{2} (2)$$ .Если $n\geq 36$ то $$S\geq \dfrac{(36-1)(36)}{2}=630\geq 616$$ а это противоречие $(1) \Rightarrow n\leq 35$ для $n=35$ будет $\sum \limits_{i=1}^{31}{a_i}=\dfrac{3}{4}S\geq 0+1+2+\cdots +31=465 \Rightarrow S\geq 620>616$ а это противоречие $(1)$.А для $n=34$ будет вот такой пример:$0,1,2,3\cdots29,34,36,37,38$ которое соблюдает все условия