қазақша
русский4-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 1 тур
Задача №1. Если цену на яблоки увеличили бы в $1,\!5$ раза, то мальчик смог бы купить только 6 яблок. А сколько яблок мальчик сможет купить сейчас?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. В международной школе лингвистов $85\%$ учеников знают английский язык, а $75\%$ — испанский (каждый из учеников знает хотя бы один из этих языков). Какая часть учеников наверняка знает оба языка? (Ответ дайте в процентах.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Сколько натуральных чисел $x$ удовлетворяют неравенствам $$\frac{3}{4} < \frac{x}{400} < \frac{4}{5}?$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Масса одного пакета составляет $\frac{5}{18}$ кг, второго — $\frac{8}{27}$ кг, третьего — $\frac{19}{67}$ кг. Какой из трёх пакетов тяжелее?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Число $111 \ldots 111$ (2019 единицы) разделили на 3. Сколько нулей получилось в записи частного?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. На уроке физкультуры три мальчика Асан, Хасан и Досан спорили между собой. Каждый сказал по одному предложению. Асан: «Хасан не самый высокий». Хасан: «Я выше Асана». Досан: «Хасан выше меня». Солгал самый высокий мальчик, остальные сказали правду. Кто самый высокий среди них?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Площадь фигуры, нарисованной на клетчатой бумаге (см. рисунок ниже) равна $54$ см$^2$. Чему равна сторона клеточки?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №9. Асан участвовал на олимпиаде, на которой участникам дали 10 легких и 10 сложных задач. После окончания олимпиады, папа сверив ответы Асана, сообщил ему, что он набрал 17 баллов, посчитав что за легкие задачи дают 1 балл, а за сложные — 2 балла. Но Асан, зная, что легкие оцениваются 2 балла, а сложные — в 3, сказал папе, что у него получилось 29 баллов. Сколько всего задач Асан решил на этой олимпиаде?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №10. Алим писал олимпиаду с продолжительностью 2 часа. Середина первой трети олимпиады пришлась на полдень. Когда закончится олимпиада?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №11. Известно, что $|a|=9$, $|b|=10$, $|c|=11$. Какое наибольшее значение может принимать выражение $a-b+c$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №12. Даны числа $a,b,c,d$. Известно, что $a\ne b$, $c\ne d$ и $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Какое из четырех утверждении не всегда верно:
1) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$;
2) $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$;
3) $\frac{a-c}{b}=\frac{b-d}{d}$;
4) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
комментарий/решение(1)
1) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$;
2) $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$;
3) $\frac{a-c}{b}=\frac{b-d}{d}$;
4) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
комментарий/решение(1)
Задача №13. Чем больше Алим решает задачи, тем больше он устает. Поэтому на каждую последующую задачу он тратит на одну минуту больше времени, чем на предыдущую (независимо от того, в каком порядке он их решает). Известно, что первую свою задачу Алим решает за 1 минуту. Успеет ли он решить все задачи, и если нет, то какое наибольшее количество задач он успеет решить? (При решении задач Алим никогда не ошибается. На олимпиаде дали 20 задач на 2 часа.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №14. Дайвер погружался на дно. Вначале он погрузился на 1 метр и испугался. Потом он набрался храбрости и преодолел еще половину оставшейся глубины. Затем, после небольшой передышки, он погрузился еще на 1 метр. До дна уже оставалось $30\$ всей глубины. На какую глубину погружался дайвер?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №15. Даны натуральные числа $a,$ $b,$ и $c$. Оказалось, что $\text{НОК}(a,b)=60$, $\text{НОК}(b,c)=150$, $\text{НОК}(a,c)=300$, $\text{НОК}(a,b,c)=300$, $\text{НОД}(a,b,c)=1$. Найдите произведение чисел $a,b,c$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №16. В автобусе ехало не более ста пассажиров, причем число стоящих пассажиров было в два раза больше числа сидящих. На остановке из автобуса вышло $4\%$ всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №17. Под словом АЛМАТА зашифровали некоторое натуральное число, делящиеся на 45. Также известно, что при шифровке не использовали цифру 0. Найдите наименьшее возможное значение суммы цифр этого зашифрованного числа. (В шифровке одинаковые буквы означает одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №18. Вася выбрал самое маленькое натуральное число, квадрат которого делится на 1, потом самое маленькое натуральное число, квадрат которого делится на 2, и т. д., самое маленькое натуральное число, квадрат которого делится на 10. Чему равна сумма десяти чисел, выбранных Васей?
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №19. Вычислите: $$\left(\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+\frac{7+8}{9}+\ldots+\frac{97+98}{99} \right)+\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{33} \right).$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №20. Дано число $A=\underbrace{13 \cdot 13 \cdot \ldots \cdot 13}_{100 \text{ раз}}$ (т.е. когда число 13 умножили на самого себя 100 раз, получили число $A$). Из числа $A$ вычли наибольший его делитель, не равный самому числу. Из полученной разности также вычли наибольший её делитель, не равный ей самой, и т.д. После пяти вычитаний получили число $B$. Какое частное получится, если $A$ разделить на $B$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)