Результаты Европейской математической олимпиады для девушек 2017

Дата публикации: 2017-04-12

С 6 по 12 апреля в г.Цюрих, Швейцария, прошла Европейская математическая олимпиада для девушек 2017. Олимпиада проходила в два тура, в каждом предлагалась три задачи. Такое же формат проведения имеет Международная Математическая Олимпиада.

Стоит отметить, что если первая олимпиада в 2012 году собрала 19 стран, то в этом году их количество увеличилось до 44. Например, Международная олимпиада ежегодно собирает чуть больше 100 стран. Это неудивительно, ведь организация была на высшем уровне и задачи были одновременно оригинальными и красивыми.

В состав нашей команды вошли:

Аманбаева Аружан, 10 класс, РФМШ, г. Алматы;
Шынтай Алуа, 10 класс, РФМШ, г. Алматы;
Смагулова Ажар, 11 класс, НурОрда, г. Астана;
Сабырбек Аружан, 9 класс, НИШ, г. Талдыкорган.

Команда прибыла в Цюрих 6 апреля. 7 апреля с утра у них проходил большой квест по городу. Девушки выполняли различные задания. Но фактически они изучали город.

Открытие началось ровно в 16:00. Традиционно все команды выходили на сцену. Потом состоялся небольшой фуршет.

8-9 апреля состоялись туры олимпиады, 10 апреля состоялась координация.

По результатам которой, девочки получили следующие результаты:

Код Имя Фамилия Класс Школа 1 2 3 4 5 6 Σ Награда

KAZ1 Аружан Аманбаева 10 РФМШ, Алматы 7 7 7 7 2 7 37 Золото

KAZ2 Алуа Шынтай 10 РФМШ, Алматы 7 2 0 7 7 2 25 Серебро

KAZ3 Ажар Смагулова 11 НурОрда, Астана 7 0 1 0 2 0 10 Почетная грамота

KAZ4 Аружан Сабырбек 9 НИШ, Талдыкорган 7 0 1 0 2 1 11 Бронза

Код	Имя Фамилия	Класс	Школа	1	2	3	4	5	6	Σ	Награда
KAZ1	Аружан Аманбаева	10	РФМШ, Алматы	7	7	7	7	2	7	37	Золото
KAZ2	Алуа Шынтай	10	РФМШ, Алматы	7	2	0	7	7	2	25	Серебро
KAZ3	Ажар Смагулова	11	НурОрда, Астана	7	0	1	0	2	0	10	Почетная грамота
KAZ4	Аружан Сабырбек	9	НИШ, Талдыкорган	7	0	1	0	2	1	11	Бронза

В неофициальном общекомандном зачете наша команда разделила 8-10 места с командой Великобритании и Польши.

# Country Size P1 P2 P3 P4 P5 P6 Σ G S B HM

1 United States of America (USA) 4 28 28 15 28 27 22 148 4 0 0 0

2 Ukraine (UKR) 4 21 28 17 28 21 11 126 2 2 0 0

3 Russian Federation (RUS) 4 21 15 26 26 23 14 125 2 2 0 0

4 Hungary (HUN) 4 28 11 22 24 17 4 106 2 2 0 0

5 Serbia (SRB) 4 28 24 6 17 11 10 96 1 2 1 0

6 Israel (ISR) 4 22 15 11 26 14 0 88 0 3 0 0

7 Romania (ROU) 4 28 16 1 13 7 21 86 0 3 1 0

8 Kazakhstan (KAZ) 4 28 9 9 14 13 10 83 1 1 1 1

8 Poland (POL) 4 28 12 16 7 18 2 83 0 4 0 0

8 United Kingdom (UNK) 4 28 12 7 14 12 10 83 1 0 3 0

#	Country	Size	P1	P2	P3	P4	P5	P6	Σ	G	S	B	HM
1	United States of America (USA)	4	28	28	15	28	27	22	148	4	0	0	0
2	Ukraine (UKR)	4	21	28	17	28	21	11	126	2	2	0	0
3	Russian Federation (RUS)	4	21	15	26	26	23	14	125	2	2	0	0
4	Hungary (HUN)	4	28	11	22	24	17	4	106	2	2	0	0
5	Serbia (SRB)	4	28	24	6	17	11	10	96	1	2	1	0
6	Israel (ISR)	4	22	15	11	26	14	0	88	0	3	0	0
7	Romania (ROU)	4	28	16	1	13	7	21	86	0	3	1	0
8	Kazakhstan (KAZ)	4	28	9	9	14	13	10	83	1	1	1	1
8	Poland (POL)	4	28	12	16	7	18	2	83	0	4	0	0
8	United Kingdom (UNK)	4	28	12	7	14	12	10	83	1	0	3	0

Очень рады тому, что Казахстан очередной раз доказал, что входит в список сильнейших стран по математике. Ведь не каждой стране удается войти в десятку с первого участия. Например, в прошлом году наша команда в неофициальном командном зачете завоевала первое место на Балканской Математической олимпиаде 2016.

Следующая олимпиада состоится с 9 по 15 апреля 2018 года во городе Флоренции, Италия. А через год в Украине.

Поздравляем команду с успешным выступлением! А юным девушкам математикам желаем хорошо подготовиться к отбору на следующую олимпиаду!

Пользуясь случаем, хотим поблагодарить руководство НАО РФМШ, АОО НИШ, школы “NURORDA”, а также частного спонсора за командирование школьниц и руководителей на Олимпиаду.

Ниже приводим условия задач на русском языке.

Задача №1. Дан выпуклый четырёхугольник

$ABCD$ , в котором

$\angle DAB = \angle BCD = 90^\circ$ и

$\angle ABC > \angle CDA$ . Пусть

$Q$ и

$R$ — точки пересечения некоторой прямой с отрезками

$BC$ и

$CD$ , соответственно, а

$P$ и

$S$ — точки пересечения этой прямой с прямыми

$AB$ и

$AD$ , соответственно. Известно, что

$PQ = RS$ . Обозначим середину отрезка

$BD$ через

$M$ , а середину отрезка

$QR$ через

$N$ . Докажите, что точки

$M$ ,

$N$ ,

$A$ и

$C$ лежат на одной окружности.

Задача №2. Найдите наименьшее положительное целое число

$k$ , для которого существуют: раскраска положительных целых чисел

$\mathbb{Z}_{ > 0}$ в

$k$ цветов и функция

$f\colon\mathbb{Z}_{ > 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{ > 0}$ , удовлетворяющая следующим двум условиям:
i. Для всех положительных целых чисел

$m,n$ одинакового цвета

$f(m+n) = f(m) + f(n)$ .
ii. Найдутся положительные целые числа

$m,n$ такие, что

$f(m+n) \neq f(m) +f(n)$ .
В раскраске $\mathbb{Z}_{ > 0}$ в $k$ цветов каждое целое число окрашено ровно в один из $k$ цветов. В условиях (i) и (ii) положительные целые числа $m,n$ не обязательно различны.

Задача №3. На плоскости даны

$2017$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку. Улитка Турбо сидит в некоторой точке ровно на одной из прямых и начинает ползти по прямым, следуя правилам: она движется по прямой до тех пор, пока не доползёт до точки пересечения прямых. В точке пересечения она продолжает движение по другой прямой, поворачивая поочерёдно направо или налево, меняя выбор направления поворота в следующей точке пересечения прямых. Она может менять направление движения только в точках пересечения прямых. Могло ли оказаться, что по некоторому отрезку она ползла в обоих направлениях во время своего путешествия?

Задача №4. Пусть

$n \geq 1$ — целое число и

$t_1 < t_2 < \ldots < t_n$ — положительные целые числа. В группе из

$t_n+1$ человек некоторые сыграли между собой в шахматы. Два человека могли сыграть между собой не более одной партии. Докажите, что могло оказаться так, что одновременно будут выполняться два условия:
i. Количество игр, сыгранных каждым человеком — одно из чисел

$t_1, t_2, \dots, t_n$ .
ii. Для каждого

$i$ , такого, что

$1 \leq i \leq n$ , найдётся человек, который сыграл ровно

$t_i$ партий.

Задача №5. Пусть

$n\geq 2$ — целое число. Упорядоченный набор

$(a_1,a_2,\dots,a_n)$ не обязательно различных положительных целых чисел назовём дорогой $n$ -кой, если существует положительное целое число

$k$ такое, что

$(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdot \dots \cdot (a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1) = 2^{2k-1}.$
a) Найдите все целые числа

$n \geq 2$ , для которых существует дорогая $n$ -ка.
b) Докажите, что для каждого нечётного положительного целого числа

$m$ существует целое число

$n\geq 2$ такое, что число

$m$ встречается в какой-то дорогой

$n$ -ке.
В левой части равенства содержится ровно $n$ сомножителей.

Задача №6. Пусть

$ABC$ — остроугольный треугольник, в котором все стороны различны. Обозначим точки, симметричные центроиду

$G$ и центру

$O$ описанной окружности треугольника

$ABC$ относительно его сторон

$BC,CA, AB$ через

$G_1,G_2 ,G_3$ и

$O_1 ,O_2 ,O_3$ , соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников

$G_1G_2C,$

$G_1G_3B,$

$G_2G_3A,$

$O_1O_2C,$

$O_1O_3B,$

$O_2O_3A$ и

$ABC$ пересекаются в одной точке.

Комментарий(0)