Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 11 класс

Функция $f$ удовлетворяет соотношению $f(\cos x)=\cos (17x)$ для любого вещественного $x$. Докажите, что она также удовлетворяет соотношению $f(\sin x)=\sin (17x)$ для любого вещественного $x$.

Комментарий/решение

$f(\cos{x})=\cos {(17x)}$

$f\left(\cos{\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)}\right)=\cos {\left(17\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)\right)}$

$f(\sin{x})=\cos {\left(\cfrac{17\pi}{2}-17x\right)}=\cos {\left(\cfrac{\pi}{2}-17x\right)}=\sin{(17x)}$

$f(\sin x)=\sin (17x)$