Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Найдите все решения в простых числах уравнения $p(p+1)+q(q+1)=r(r+1).$

Комментарий/решение

$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)$

$p(p+1)=r(r+1)-q(q+1)$

$p(p+1)=r^2+r-q^2-q$

$p(p+1)=r^2-q^2+r-q$

$p(p+1)=(r-q)(r+q+1)$

Не теряя общности, положим, что $p \leqslant q < r$, тогда получим:

$\left \{ \begin{array}{rcl} p(p+1)&=&r+q+1,\\ 1&=&r-q. \end{array} \right.$

Значит, $p=q=2, r=3$.

Покажем, что единственное решение $p=q=2, r=3$. Для этого перепишем условие в виде: $$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1) \Rightarrow p(p+1)=r(r+1)-q(q+1)=(r-q)(r+q+1)$$ Так как $ q\in P$, то либо $q \mid r-p$ либо $q \mid r+p+1$. Если $q \mid r-p$, то: $$ q \leq r-p \Rightarrow q + 1 \leq r-p+1 < r+p+1 \Rightarrow p(p+1) < (r-q)(r+q+1)$$. Значит $q \mid r+p+1$. Пусть $k \in N$ такое что $r+p+1=kq, p+1=k(r-q)$. Если $k=1$, то: $$r+q+1=p, p+1=n-q \Rightarrow p+q = n-1 < n+1 = p+q$$ Значит $k>1$, тогда получаем, что $$2q = (r+q)-(r-q)=kp-1-(r-q)=(k+1)((k-1)(r-q)-1)$$ Так как $k>1$ то $k+1 > 2$ а так у числа $2q$ делители только $1,2,q,2q$, то либо $k+1=q$ либо $k+1=2q$. Если $k+1=q$, то $(k-1)(r-q)=3 \Rightarrow (q-2)(r-q)=3$. Тогда либо $q-2=1,r-q=3 \Rightarrow q=3,r=6,p=5$ либо $q-2=3,n-q=1 \Rightarrow q=5,r=6,p=3$. Но в обоих случаях $r \notin P$. Если $k+1=2q$, $(k-1)(r-k)=2 \Rightarrow 2(q-1)(r-q)=2$. Тогда $q-1=1,r-q=1 \Rightarrow q=2,r=3,p=2$. Откуда и имеем единственное решение $p=q=2, r=3$