Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

Натурал $N$ санын 3-ке бөлінетін үш санның квадраттарының қосындысы ретінде жазуға болады. Ол санды 3-ке бөлінбейтін үш санның квадраттарының қосындысы ретінде де жазуға болатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Из условия следует, что число $N$ можно представить в виде $9n(a^2 + b^2 + c^2)$, где одно из чисел $a$, $b$, $c$ не кратно 3. Число $9(a^2 + b^2 + c^2)$ можно представить в виде $x^2 + y^2 + z^2$, где $x$, $y$, $z$ не кратны 3. Исходное число, тем самым, запишется в виде $9n–1(x^2 + y^2 + z^2)$. Продолжая, будем понижать степень девятки, пока она не станет равной нулю.