Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

Келесі теңдеудің барлық нақты түбірлерін табыңыздар: $\dfrac{x}{3}+\dfrac{5}{x}=45x+{{x}^{2}}$.

Комментарий/решение

Добавим к обеим частям $15$ , получим

$\dfrac{x^2+45x+15}{3x}=x^2+45x+15$

$(3x-1)(x^2+45x+15)=0$

$x=\dfrac{1}{3}$

Остальные через $D$

$$\frac {x^2+15}{3x}=45x+x^2$$

$$x^2+15=135x^2+3x^3$$ $$x\ne0$$

$$3x^3-x^2+135x^2-15=0$$

$$ x^2 (3x-1)+15 (9x^2-1)=0$$

$$ x^2 (3x-1)+15 (3x-1)(3x+1)=(3x-1)(x^2+45x+15)=0$$

$$ x_1=\frac {1}{3} $$ $$ x_2=\frac{-45-\sqrt {1965}}{2}$$

$$ x_3=\frac{\sqrt {1965}-45}{2}$$