Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып
x21+x22+⋯+x26=6 және x1+x2+⋯+x6=0 екені белгілі.
Дәлелдеңіздер: x1x2…x6≤12.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
∘Егер x1,x2,...,x6 сандарының ішінде 0 немесе теріс сандардың саны тақ болса теңсіздік орындалатыны белгілі. Теріс сандардың саны жұп болсын. Олар: 2 немесе 4 болады. x1,x2<0 ал x3,...,x6>0 болсын және yi=|xi|.
Cонда y21+y22+y23+y24+y25+y26=1 және y1+y2=y3+y4+y5+y6=S.
Орталар теңсіздігінен:
√y21+y222≥y1+y22=S2⇒y21+y22≥S22 және √y23+y24+y25+y264≥y3+y4+y5+y64=S4⇒y23+y24+y25+y26≥S24.
Алынған теңсідіктерді қоссақ : 6=y21+...+y26≥S22+S24⇒S2≤8.
y1y2≤(y1+y22)2=S24 және y3...y6≤(y3+...+y62)4=S4256.
Екеуін көбейтсек: x1x2x3x4x5x6=y1y2y3y4y5y6≤S24⋅S4256=S61024≤831024=12. ∙
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.