Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып


Кез келген теріс емес нақты a,b,c сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелде: 8a2b2c2(a2+ab+acbc)(b2+ba+bcac)(c2+ca+cbab).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
5 года 9 месяца назад #

Пусть a=1x, b=1y, c=1z, где x,y,z>0 тогда неравенство примет вид 8x2y2z2(xy+yz+zxx2)(xy+yz+xzy2)(xy+xz+yzz2)

открыв скобки

x4y2+x4z2+y4x2+y4z2+z4x2+z4y2+2(x4yz+y4xz+z4xy)+6x2y2z2>2(x3y3+x3z3+y3z3+x3y2z+x3z2y+y3x2z+y3z2x+z3x2y+z3y2x)

Применим к x4y2+x4z2+y4x2+y4z2+z4x2+z4y2 неравенство между AMGM а именно x4y2+y4x22x3y3 так и с другими, подставив и вычитывая с учетом правой части, получаем

2(x4yz+y4zx+z4xy)+6x2y2z22(x3y2z+x3z2y+y3x2z+y3z2x+z3x2y+z3y2x)

или

2(x4yz+y4zx+z4xy)+6x2y2z22(x3y2z+x3z2y+y3x2z+y3z2x+z3x2y+z3y2x)=2xyz(x3+y3+z3+3xyzx2yx2zxy2xz2y2zyz2)0

так как x,y,z>0 то

требуется доказать что x3+y3+z3+3xyzx2yx2zxy2xz2y2zyz20 или

(y+zx)(x+yz)(x+zy)<xyz

заменив y+zx=n, x+yz=t, x+zy=k откуда 8ntk<(n+t)(t+k)(n+k) учитывая что

n+k2nk, t+k2tk, n+t2nt умножая получаем требуемое.

пред. Правка 2   1
5 года 9 месяца назад #

Решение: Пусть для определенности считаем, что abc. Тогда верна неравенства:

{(ab)(bc)0(bc)(ac)0(ab)(ac)0{2(ab+bcac)b2+ab+bcac2(ac+bcab)(c2+ac+cbab)2(ab+acbc)(a2+ab+acbc)

Перемножая эти неравенства, получаем неравенство:

8A=8(ab+bcac)(ac+bcab)(ab+acbc)(b2+ab+bcac)(c2+ac+cbab)(a2+ab+acbc)=B

С другой стороны,

C=a2b2c2=bcacab=ab+bcac+ac+bcab2ac+bcab+ab+acbc2ab+acbc+ab+bcac2A

8C8AB

что и требовалось доказать.

  1
2 года назад #

Қате шешім. Екінші жүйедегі үш теңсіздікті көбейте алмаймыз.

пред. Правка 2   1
2 года назад #

P=(a2+ab+acbc)(b2+ba+bcac)(c2+ca+cbab)

abc болсын.

a2+ab+acbc>a2bc0

b2+ba+bcac>baac0

Егер 0c2+ca+caab болса, онда 8a2b2c2>0P болады.

c2+ca+caab>0 және T=(ab)(bc) болсын. Онда

a2+ab+acbc2a2

b2+ba+bcac=2b2+T

c2+ca+cbab2c2T

   P2a2(2b2+T)(2c2T)

4b2c2(2b2+T)(2c2T) теңсіздігін дәлелдеу керек болады.

T2+2T(b2c2)0