Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Пусть a=1x, b=1y, c=1z, где x,y,z>0 тогда неравенство примет вид 8x2y2z2≥(xy+yz+zx−x2)(xy+yz+xz−y2)(xy+xz+yz−z2)
открыв скобки
x4y2+x4z2+y4x2+y4z2+z4x2+z4y2+2(x4yz+y4xz+z4xy)+6x2y2z2>2(x3y3+x3z3+y3z3+x3y2z+x3z2y+y3x2z+y3z2x+z3x2y+z3y2x)
Применим к x4y2+x4z2+y4x2+y4z2+z4x2+z4y2 неравенство между AM≥GM а именно x4y2+y4x2≥2x3y3 так и с другими, подставив и вычитывая с учетом правой части, получаем
2(x4yz+y4zx+z4xy)+6x2y2z2≥2(x3y2z+x3z2y+y3x2z+y3z2x+z3x2y+z3y2x)
или
2(x4yz+y4zx+z4xy)+6x2y2z2−2(x3y2z+x3z2y+y3x2z+y3z2x+z3x2y+z3y2x)=2xyz(x3+y3+z3+3xyz−x2y−x2z−xy2−xz2−y2z−yz2)≥0
так как x,y,z>0 то
требуется доказать что x3+y3+z3+3xyz−x2y−x2z−xy2−xz2−y2z−yz2≥0 или
(y+z−x)(x+y−z)(x+z−y)<xyz
заменив y+z−x=n, x+y−z=t, x+z−y=k откуда 8ntk<(n+t)(t+k)(n+k) учитывая что
n+k≥2√nk, t+k≥2√tk, n+t≥2√nt умножая получаем требуемое.
Решение: Пусть для определенности считаем, что a≥b≥c. Тогда верна неравенства:
{(a−b)(b−c)≥0(b−c)(a−c)≥0(a−b)(a−c)≥0⇔{2(ab+bc−ac)≥b2+ab+bc−ac−2(ac+bc−ab)≥−(c2+ac+cb−ab)−2(ab+ac−bc)≥−(a2+ab+ac−bc)
Перемножая эти неравенства, получаем неравенство:
8A=8(ab+bc−ac)(ac+bc−ab)(ab+ac−bc)≥(b2+ab+bc−ac)(c2+ac+cb−ab)(a2+ab+ac−bc)=B
С другой стороны,
C=a2b2c2=bc⋅ac⋅ab=ab+bc−ac+ac+bc−ab2⋅ac+bc−ab+ab+ac−bc2⋅ab+ac−bc+ab+bc−ac2≥A
⇒8C≥8A≥B
что и требовалось доказать.
P=(a2+ab+ac−bc)(b2+ba+bc−ac)(c2+ca+cb−ab)
a≥b≥c болсын.
a2+ab+ac−bc>a2−bc≥0
b2+ba+bc−ac>ba−ac≥0
Егер 0≥c2+ca+ca−ab болса, онда 8a2b2c2>0≥P болады.
c2+ca+ca−ab>0 және T=(a−b)(b−c) болсын. Онда
a2+ab+ac−bc≤2a2
b2+ba+bc−ac=2b2+T
c2+ca+cb−ab≤2c2−T
⇒ P≤2a2(2b2+T)(2c2−T)
4b2c2≥(2b2+T)(2c2−T) теңсіздігін дәлелдеу керек болады.
⟺T2+2T(b2−c2)≥0
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.