Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып

Біреуінде 2001 ал екіншісінде 2002 тасы бар екі тастардың үйіндісі бар. Екі ойыншыға екі үйіндіден де бір бір тастан немесе бір ғана үйіндіден бір тас алуға рұқсат етіледі. Ең соңғы тасты алған ойыншы жеңді деп есептеледі. Дұрыс ойнаған жағдайда қай ойыншының жеңуге мүмкіндігі бар.

Комментарий/решение

b_Ответ: выигрывает первый игрок._b

Стратегия первого игрока заключается в том, чтобы после своего хода оставить четное количество камней в обоих кучах. Рассмотрим ход первого игрока, как отображение $f \colon \left( \begin{array}{ll} odd&even\\ odd&odd\\ even&odd \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} even&even\\ even&even\\ even&even \end{array} \right)$, тогда ход второго игрока есть отображение $g \colon \left( \begin{array}{ll} even&even\\ even&even\\ even&even \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} odd&even\\ odd&odd\\ even&odd \end{array} \right)$. Значит, первый игрок выиграет.

$Ответ$:выигрывает первый игрок.

Решение:Первый оставляет после себя в одной кучке 2000 камней а вдругой - 2002. Если второй возьмет только один камень, первый повторит ход второго, но только ему придется взять камень с другой кучки.Если же второй возьмет с обеих кучек по 1 камню, тогда первый также повторит ход второго.В конце концов В одной кучке останется 2 камня, а в другой кучке их уже не будет.Тогда второму придется взять один предпоследний камень с кучки, после которого первый выкинет последний камень.

Не согласен, почему ВТОРОМУ придется взять предпоследний камень?