Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 9 сынып

Отбасыда төрт бала бар. Әр баланың жасы — 16-дан аспайтын натурал сан, және де балалардың жастары әр түрлі. Бүгін ең үлкен бала жасының квадраты қалған үш баланың жастар квадраттарының қосындысына тең. Дәл бір жылдан кейін ең үлкен және ең кіші балалардың жастар квадратгарының қосындысы қалған екеуінің жастар квадраттарының қосындысына тең болады. Әр баланың бүгінгі жасын анықтаңдар.

Комментарий/решение

Пусть $a_1, a_2, a_3, a_4$ - возрасты детей, причем $a_i \in N$ и $16 \geq a_1>a_2>a_3>a_4$. По условию, $$a_1^2=a_2^2+a_3^2+a_4^2,$$ $$(a_1+1)^2+(a_4+1)^2=(a_2+1)^2+(a_3+1)^2,$$ $(a_1+1)^2+(a_4+1)^2=a_1^2+a_4^2+2(a_1+a_4)+2=a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_4^2+2(a_1+a_4)+2=a_2^2+a_3^2+2(a_2+a_3)+2,$ $2(a_4^2+a_1+a_4)=2(a_2+a_3)$, $$a_4^2+a_1+a_4=a_2+a_3.$$ $a_1>a_2, \Rightarrow a_4^2+a_4=a_4(a_4+1)<a_3$, $\Rightarrow a_4<4$, Дальше рассмотрение случаев:

$1) a_4=3$, $28=16+9+3 \geq a_1+9+3=a_2+a_3, \Rightarrow a_3 \leq13$, но $a_3>(a_4+1)a_4=4*3=12, \Rightarrow a_3=13$. Если $a_3=13$, то $a_1^2-a_2^2=a_3^2+a_4^2=169+9=178=(a_1-a_2)(a_1+a_2)=2*89$, но $89 \in P$, а $a_1+a_2<89$, противоречие

$2)a_4=2$, тогда $22=16+4+2\geq a_1+4+2=a_3+a_3, \Rightarrow a_3 \leq 10$. Пусть $a_3=10$, тогда находим ответ $a_1=15, a_2=11, a_3=10, a_4=2$. Пусть $a_3=9$, тогда $(a_1-a_2)(a_1+a_2)=85=5*17$, но $a_1+a_2 \ne 17$ и $<34$, противоречие. Аналогично рассматриваем случаи $a_3=8,7, (a_3>a_4(a_4+1)=6)$, убеждаемся, что дальше ответов нет. В этом варианте ответы: $a_1=15, a_2=11, a_3=10, a_4=2$

$3)a_4=1, 18 \geq a_1+2=a_2+a_3$, $\Rightarrow a_3 \leq 8$, еще $a_3 > 1*2=2$. Рассматриваем случаи, не находим ответы.

Ответ:$a_1=15, a_2=11, a_3=10, a_4=2$