Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

В семье имеется четверо детей, возраст каждого из которых представляет собой натуральное число, не большее чем 16, причем все возрасты различны. Сегодня квадрат возраста самого старшего из детей равен сумме квадратов возрастов трех оставшихся. Ровно через год сумма квадратов возрастов самого старшего и самого младшего из детей станет равной сумме квадратов возрастов двух оставшихся. Сколько лет каждому из детей сегодня?

Комментарий/решение

Пусть $a_1, a_2, a_3, a_4$ - возрасты детей, причем $a_i \in N$ и $16 \geq a_1>a_2>a_3>a_4$. По условию, $$a_1^2=a_2^2+a_3^2+a_4^2,$$ $$(a_1+1)^2+(a_4+1)^2=(a_2+1)^2+(a_3+1)^2,$$ $(a_1+1)^2+(a_4+1)^2=a_1^2+a_4^2+2(a_1+a_4)+2=a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_4^2+2(a_1+a_4)+2=a_2^2+a_3^2+2(a_2+a_3)+2,$ $2(a_4^2+a_1+a_4)=2(a_2+a_3)$, $$a_4^2+a_1+a_4=a_2+a_3.$$ $a_1>a_2, \Rightarrow a_4^2+a_4=a_4(a_4+1)<a_3$, $\Rightarrow a_4<4$, Дальше рассмотрение случаев:

$1) a_4=3$, $28=16+9+3 \geq a_1+9+3=a_2+a_3, \Rightarrow a_3 \leq13$, но $a_3>(a_4+1)a_4=4*3=12, \Rightarrow a_3=13$. Если $a_3=13$, то $a_1^2-a_2^2=a_3^2+a_4^2=169+9=178=(a_1-a_2)(a_1+a_2)=2*89$, но $89 \in P$, а $a_1+a_2<89$, противоречие

$2)a_4=2$, тогда $22=16+4+2\geq a_1+4+2=a_3+a_3, \Rightarrow a_3 \leq 10$. Пусть $a_3=10$, тогда находим ответ $a_1=15, a_2=11, a_3=10, a_4=2$. Пусть $a_3=9$, тогда $(a_1-a_2)(a_1+a_2)=85=5*17$, но $a_1+a_2 \ne 17$ и $<34$, противоречие. Аналогично рассматриваем случаи $a_3=8,7, (a_3>a_4(a_4+1)=6)$, убеждаемся, что дальше ответов нет. В этом варианте ответы: $a_1=15, a_2=11, a_3=10, a_4=2$

$3)a_4=1, 18 \geq a_1+2=a_2+a_3$, $\Rightarrow a_3 \leq 8$, еще $a_3 > 1*2=2$. Рассматриваем случаи, не находим ответы.

Ответ:$a_1=15, a_2=11, a_3=10, a_4=2$