Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Пусть $M$ середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. На прямой $AC$ отмечены несовпадающие точки $L$ и $N$ такие, что $AL=CN$ и $CL=AN$. Докажите, что прямые $LM$ и $MN$ при пересечении с прямой $AB$ образуют равноудаленные точки относительно $A$ и $B$ соответственно.

Комментарий/решение

По теореме Менелая

$\dfrac{BM}{CM} \cdot \dfrac{CL}{AL} = \dfrac{BD}{AD}$ и $\dfrac{AN}{CN} \cdot \dfrac{CM}{ BM } = \dfrac{AF}{ BF}$ тогда

$\dfrac{CL}{AL} = \dfrac{ AB}{AD}+1$

$\dfrac{AN}{CN} = \dfrac{AB}{BF}+1$

по условию $\dfrac{CL}{AL} = \dfrac{AN}{CN}$ откуда $AD=BF$