Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс
Пусть $M$ середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. На прямой $AC$ отмечены несовпадающие точки $L$ и $N$ такие, что $AL=CN$ и $CL=AN$. Докажите, что прямые $LM$ и $MN$ при пересечении с прямой $AB$ образуют равноудаленные точки относительно $A$ и $B$ соответственно.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
По теореме Менелая
$\dfrac{BM}{CM} \cdot \dfrac{CL}{AL} = \dfrac{BD}{AD}$ и $ \dfrac{AN}{CN} \cdot \dfrac{CM}{ BM } = \dfrac{AF}{ BF} $ тогда
$\dfrac{CL}{AL} = \dfrac{ AB}{AD}+1$
$\dfrac{AN}{CN} = \dfrac{AB}{BF}+1$
по условию $\dfrac{CL}{AL} = \dfrac{AN}{CN}$ откуда $AD=BF$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.