Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс


Пусть $M$ середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. На прямой $AC$ отмечены несовпадающие точки $L$ и $N$ такие, что $AL=CN$ и $CL=AN$. Докажите, что прямые $LM$ и $MN$ при пересечении с прямой $AB$ образуют равноудаленные точки относительно $A$ и $B$ соответственно.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2021-06-17 00:57:21.0 #

По теореме Менелая

$\dfrac{BM}{CM} \cdot \dfrac{CL}{AL} = \dfrac{BD}{AD}$ и $ \dfrac{AN}{CN} \cdot \dfrac{CM}{ BM } = \dfrac{AF}{ BF} $ тогда

$\dfrac{CL}{AL} = \dfrac{ AB}{AD}+1$

$\dfrac{AN}{CN} = \dfrac{AB}{BF}+1$

по условию $\dfrac{CL}{AL} = \dfrac{AN}{CN}$ откуда $AD=BF$