Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 8 сынып

Теңдеудің шешіңіздер: ${{x}^{2}}+x+1=\dfrac{156}{{{x}^{2}}+x}$.

Комментарий/решение

Сделать замену $x^2 + x = t$.

Ответ: $x=\{-4,3\}$.

$\text {Алмастыру енгіземіз: } \\x^2+x=t \Rightarrow t^2+t-156=0\Rightarrow \left(t+13\right) \cdot \left(t+12\right)=0 \Rightarrow t_1=12, t_2=-13\\ x^2+x+13=0\Rightarrow D<0, \\ x^2+x-12=0\Rightarrow x_1=-4, x_2=3.$

Перенесем $x^2+x$ на левую сторону:

( $x^2+x+1$)($x^2+x$)=156

Возьмем $x^2+x=a$

Через factorization

$a^2+a=156$

Подбором найдем что:

$a=12$

$a=-13$

$x^2+x=12$

$x^2+x=-13$

Также подбором найдем что:

$x={-4;3}$

Ответ:-4;3