Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Так как a−b∈Z и a2−b2∈Z, то a+b∈Z.
Так как a+b∈Z и a3−b3∈Z, то ab∈Z.
Так как a−b∈Z и a+b∈Z, то 2a∈Z и 2b∈Z.
Так как 2a∈Z и 2b∈Z, то возможны следующие случаи:
1) a=m2,b=n2, где n,m∈Z, но тогда ab∉Z.
2) a=m2,b∈Z или a∈Z,b=n2, где n,m∈Z, но тогда a+b∉Z.
3) a∈Z и b∈Z.
Значит a и b - целые числа.
Заметим, что a+b=a2−b2a−b∈Q.Тогда a=(a+b)+(a−b)2∈Q, откуда b∈Q Пусть a=xz и b=yz, где x,y,z∈Z Если 0∈ { x,y }, то утверждение задачи следует непосредственно. Пуст x,y≠0, тогда можно считать, что НОД(x,y,z)=1.
Если z≠1,то ∃p∈P, что p∣z. Из условия получаем, что pn∣xn−yn,∀n∈N(1) в частности p∣x−y⟹p∤.
Тогда по теореме LTE:v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n)\quad (\color{red} 2)
Из (\color{red} 1) и (\color{red} 2) \implies v_p(x-y)\geq n-v_p(n),\forall n\in\mathbb N, что невозможно, ведь при достаточно больших n число n-v_p(n) будет "достаточно" большим.(Например при n=p^m+1, где m\in\mathbb N, m>v_p(x-y))
Значит z=1 откуда a,b - целые.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.