Processing math: 79%

Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып


ab, a2b2, a3b3, шексіз тізбегінің әрбір мүшесі натурал сан екені белгілі. a және b сандары бүтін екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 11 месяца назад #

Так как abZ и a2b2Z, то a+bZ.

Так как a+bZ и a3b3Z, то abZ.

Так как abZ и a+bZ, то 2aZ и 2bZ.

Так как 2aZ и 2bZ, то возможны следующие случаи:

1) a=m2,b=n2, где n,mZ, но тогда abZ.

2) a=m2,bZ или aZ,b=n2, где n,mZ, но тогда a+bZ.

3) aZ и bZ.

Значит a и b - целые числа.

  6
4 года 9 месяца назад #

Данное решение не корректно, ведь из того, что abZ и a2b2Z не следует, что a+bZ, например a=10/3,b=1/3

пред. Правка 2   6
4 года 9 месяца назад #

Заметим, что a+b=a2b2abQ.Тогда a=(a+b)+(ab)2Q, откуда bQ Пусть a=xz и b=yz, где x,y,zZ Если 0 { x,y }, то утверждение задачи следует непосредственно. Пуст x,y0, тогда можно считать, что НОД(x,y,z)=1.

Если z1,то pP, что pz. Из условия получаем, что pnxnyn,nN(1) в частности pxyp.

Тогда по теореме LTE:v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n)\quad (\color{red} 2)

Из (\color{red} 1) и (\color{red} 2) \implies v_p(x-y)\geq n-v_p(n),\forall n\in\mathbb N, что невозможно, ведь при достаточно больших n число n-v_p(n) будет "достаточно" большим.(Например при n=p^m+1, где m\in\mathbb N, m>v_p(x-y))

Значит z=1 откуда a,b - целые.