Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып

$a$, $b$ және $c$ оң нақты сандары ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$ теңдігін қанағаттандырады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $a+b+c+1/(abc)\ge 4\sqrt{3}$.

Комментарий/решение

Так как $1=a^2+b^2+c^2$$\geq$$3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$. Тогда $1/3\sqrt{3}$$\geq$$abc$. Если использовать это и неравенство о средних: $a+b+c+9•\dfrac{1}{9abc}$$\geq$$12$•$\sqrt[12]{\dfrac{abc}{9^9•(abc)^9}}$$\geq$$12•\sqrt[12]{\dfrac{1}{9^9•(3\sqrt{3})^{-8}}}$$=$$12•\sqrt[12]{3^{-6}}$$=$$12•\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$=$$4\sqrt{3}$ .Равенство при $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

bruh, флешбеки с респы 2021