Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 8 сынып

Өрнекті ықшамадаңдар: $\frac{2\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}{3\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}$.

Комментарий/решение

$\cfrac{2( \sqrt{2} +\sqrt{6})}{3 \cdot \sqrt {2 + \sqrt{3}}} = \cfrac{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3\sqrt{\left(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\cdot\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+ \left(\sqrt{\cfrac{3}{2}}\right)^2}} = \cfrac{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3\sqrt{\left(\cfrac{1}{\sqrt{2}} + \cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2}} = \cfrac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{3\cdot\cfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}} = \cfrac{4}{3}$