Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 8 сынып

Квадраттың бір қабырғасы $p\%$-ға ұзартылып, ал екінші қабырғасы $p\%$-ға қысқартылды. Пайда болған тіктөртбұрыштың ауданы квадраттың ауданының $99\%$-ына тең болса, $p$-ны табыңдар.

Комментарий/решение

$x-\text{квадраттың қабырғасы.}\\ S=\left(x+\frac{px}{100} \right)\cdot \left(x-\frac{px}{100} \right)=x^2-\left( \frac{px}{100} \right)^2=x^2\left(1-\frac{p^2}{100^2}\right)\\ \left\{ \begin{gathered} x^2\left(1-\frac{p^2}{100^2}\right)-99\%\\x^2-100\%\\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 100 \cdot x^2\left(1-\frac{p^2}{100^2}\right)=99 \cdot x^2 \Rightarrow 100-\frac{p^2}{100}=99 \Rightarrow 10000-p^2=9900 \Rightarrow p^2=100 \Rightarrow p=\pm10 \\ \text{Жаyабы: }p=10$