Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып
Бір квадрат екінші квадратты центріне қарағаңда α бұрышқа (α≤π4) бұру арқылы алынған. α -ның қандай мәнінде екі квадраттың ортақ бөлігі болып табылатын сегізбұрыштың периметрі ең кіші болады?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из-за симметричности точек пересечения квадрата относительно центра, следует что полученный восьмиугольник правильный пусть ABCD,A1B1C1D1 нужные квадраты, пусть K∈A1D1∩CD, E∈A1D1∩AD тогда DEK=α, DK=D1K, ED=EA1 тогда одна стороны восьмиугольника EK=AD−DE−DK=√DE2+DK2 выражая DK=AD⋅sinα1+sinα+cosα, DE=AD⋅cosα1+sinα+cosα значит EK=AD1+√2⋅sin(α+π4) откуда при a=π4 периметр P=8EK достигает минимальное значение равное 8AD1+√2.
Ответ α=π4.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.