Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып


Бір квадрат екінші квадратты центріне қарағаңда α бұрышқа (απ4) бұру арқылы алынған. α -ның қандай мәнінде екі квадраттың ортақ бөлігі болып табылатын сегізбұрыштың периметрі ең кіші болады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
5 года 10 месяца назад #

Из-за симметричности точек пересечения квадрата относительно центра, следует что полученный восьмиугольник правильный пусть ABCD,A1B1C1D1 нужные квадраты, пусть KA1D1CD, EA1D1AD тогда DEK=α, DK=D1K, ED=EA1 тогда одна стороны восьмиугольника EK=ADDEDK=DE2+DK2 выражая DK=ADsinα1+sinα+cosα, DE=ADcosα1+sinα+cosα значит EK=AD1+2sin(α+π4) откуда при a=π4 периметр P=8EK достигает минимальное значение равное 8AD1+2.

Ответ α=π4.