Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып
Кез келген теріс емес нақты a және b сандары үшін a+3√a2b+3√ab2+b4≤a+√ab+b3 теңсіздігінің орындалатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
3a+33√a2b+33√ab2+3b≤4a+4√ab+4b
a+b+4√ab≥33√a2b+33√ab2
(a+√ab+√ab)+(b+√ab+√ab)≥3(3√√a2∗a∗b∗a∗b+3√√b2∗a∗b∗a∗b)=3(3√√a4∗b2+3√√b4∗a2)=33√a2b+33√ab2
a+√ab+b3≥a+3√a2b+3√ab2+b4
4a+4√ab+4b≥3a+33√a2b+33√ab2+3b
2a+4√ab+2b≥a+33√a2b+33√ab2+b
2(√a+√b)2≥(3√a+3√b)3
Пусть a=x6,b=y6
2(x3+y3)2≥(x2+y2)3
Рассмотрим неравенство о средних степенях для n=2;
3√x3+y32≥√x2+y22
(x3+y3)24≥(x2+y2)38
2(x3+y3)2≥(x2+y2)3
Что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.