Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.

Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ такая, что $\angle ABP = \angle ACP$. Точка $Q$ выбрана так, что четырёхугольник $PBQC$ является параллелограммом. Докажите, что $\angle BAQ = \angle CAP$.

Комментарий/решение

Лемма об изогональных

По двойственной теоремы дезарга об инволюции существует проективная инволюция пучка прямых в $A$ меняющей местами $(AP,AQ),(AB,AC),(A\infty_{BP},A\infty_{CP})$ но в силу $\angle ABP=\angle ACP$ им будет симметрия относительно биссектриссы угла $BAC$ а значит $\angle BAQ=\angle CAP$

Выберем $S$ так, что $ASBP$ --- параллелограмм, очевидно тогда, что $QN \parallel AC$, тогда $\angle NAB = \angle ABP = \angle PCA = \angle BQN$, т.е. $ANBQ$ вписан. Затем $\angle CAQ = \angle NQA = \angle NBA = \angle BAP$, вычитая из обоих частей угол $\angle PAQ$, получим требуемое.