Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.

Вычислите сумму: $$S = \frac{1}{(\frac{1}{2026})^2+1} + \frac{1}{(\frac{2}{2025})^2+1} + \dots + \frac{1}{(\frac{2026}{1})^2+1}.$$

Комментарий/решение

Для начала заметим,что

$$\frac{1} {(\frac{n} {k})^2 +1} + \frac{1} {(\frac{k} {n})^2 +1} = 1$$

Для любых натуральных n и k.Используя это к последней и первой,второй и 2025-ой дроби и т.д.,получим что $S=1013$■