Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, II тур заключительного этапа

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали равны, $\angle ADB = \angle ACD$, $CD = 3$, $AD = 1$ и $\angle BAD = 150^\circ$. Найдите $BC$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Ответ: BC=2

Проверенное решение:

Возьмем точку E на отрезке CD такую, что CE=AD. По условию мы имеем AC=BD, и ∠ACD= ∠ADB. Из этого по подобию S.A.S., треугольники ACE и ADB равны. Значит AE=AB и ∠AED=30.

Теперь заметим что ED=2AD. Попробуем доказать что ∠ EAD=90. Проведем высоты AH и DH'. Допустим DH'≠AD=1 или DH'≠1. Дальше заметим, что 2AH=AE по теореме 90 60 30, и площадь треугольника AED равна AH•ED/2=AH (ED=2 исходя из условия). Тогда AH=AE•DH'/2 тоже верно, но из этого DH'=1, что означает что H'=A и ∠EAD=90. Тогда ∠BAE=60 что означает что BAE равносторонний треугольник.

Теперь заметим, что:

1) BE=AE

2) ∠BEC= ∠EAD

3)CE=AD

Из этого треугольники BEC и EAD равны, а значит BC=ED=2.

Хорошее решение