Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс

Найдите все вещественные решения уравнения ${{(x+y)}^{2}}=(x+1)(y-1).$

Комментарий/решение

b_Жауабы:_b $y=1, x=-1$

$x+1=a$ және $y-1=b$ деп алсақ $x+y=a+b$ болады, онда:

$(a+b)^2-ab=0$

$a^2+ab+b^2=0$, $a$ бойынша квадрат үшмүшенің дискриминантын тапсақ:

$D=a^2-4a^2=-3b^2$ теңдеудің нақты түбірі болуы үшін $D\ge 0$, онда $b=0$.

Демек $y=1, x=-1$

Еще одно решение:

$$(x+y)^2=(x+1)(y -1)

Раскроем скобки:

$$x^2+2xy+y^2=xy-x+y-1$$

Все перекинем:

$$x^2+xy+y^2+x+1-y=0$$

Это можно заменить на

$$x^2+x(y+1)+y^2-y+1=0$$

Делаем дискриминант:

$$D=(y+1)^2-4(y^2-y+1)$$

Раскроем скобки

$$D=y^2+2y+1-4y^2+4y-4$$

$$D=6y-3y^2-3$$

$$D=-3(y-1)^2$$

Заметим имеет решение только тогда когда D=0

Оно не может быть положительным

Значит

x=-1

y=1

При таком решении вы расмотрели y как константу

Раскрыв все скобки и перенося всё содержимое в левую сторону, мы получаем:

$x^2+xy+y^2+x-y+1=0$

Умножив обе стороны уравнения на 2 получаем:

$(x^2+2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)^2=0$

Откуда: $x=-1$ и $y=1$

Если $(x+y)^2$ = 0, то либо $x+1 = 0$, либо $y -1 =0$. В обоих случаях получаем, что $(x,y) = (-1, 1)$.

Если же $(x+y)^2 > 0$, то заметим, что

$$(x+y)^2 = (x+1)(y-1) \leq (\frac{x+y}{2})^2,$$ что невозможно.