13-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2026 год, первая лига, 7-8 классы

Тең қабырғалы $ABC$ үшбұрышы берілген. $O_{1}$ және $O_{2}$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $AC$ қабырғаларында жатыр. Центрі $O_{1}$ болатын және $B$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер, центрі $O_{2}$ болатын және $C$ нүктесі арқылы өтетін шеңбермен $P$ нүктесінде сырттай жанасады ($P$ үшбұрыштың ішінде орналасқан). $BPC$ бұрышын табыңыз.

Комментарий/решение

Пусть \(\angle PBO_1 = \angle BPO_1 = \alpha\), а \(\angle PCO_2 = \angle CPO_2 = \beta\). Тогда величина угла \(BPC\) может быть выражена как \(180^\circ - \alpha - \beta\). Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, углы \(O_{1}BC\) и \(O_{2}CB\) равны \(60^{\circ }\), следовательно, \(\angle PBC = 60^\circ - \alpha\), а \(\angle PCB = 60^\circ - \beta\). Исходя из этого, угол \(BPC\) также равен \(180^\circ - \angle PBC - \angle PCB\), что при подстановке дает \(180^\circ - (60^\circ - \alpha) - (60^\circ - \beta) = 60^\circ + \alpha + \beta\). Таким образом, мы получаем равенство \(180^\circ - \alpha - \beta = 60^\circ + \alpha + \beta\), из которого следует, что сумма \(\alpha + \beta\) составляет \(60^{\circ }\). Подставив это значение в любое из выражений, находим, что искомый угол \(BPC\) равен \(120^{\circ }\).