13-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2026 год, первая лига, 7-8 классы

Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Известно, что окружность с центром в $O_{1}$, проходящая через $B$, и окружность с центром в $O_{2}$, проходящая через $C$, внешним образом касаются в точке $P$ ($P$ лежит внутри треугольника). Найдите $\angle BPC$.

Комментарий/решение

Пусть \(\angle PBO_1 = \angle BPO_1 = \alpha\), а \(\angle PCO_2 = \angle CPO_2 = \beta\). Тогда величина угла \(BPC\) может быть выражена как \(180^\circ - \alpha - \beta\). Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, углы \(O_{1}BC\) и \(O_{2}CB\) равны \(60^{\circ }\), следовательно, \(\angle PBC = 60^\circ - \alpha\), а \(\angle PCB = 60^\circ - \beta\). Исходя из этого, угол \(BPC\) также равен \(180^\circ - \angle PBC - \angle PCB\), что при подстановке дает \(180^\circ - (60^\circ - \alpha) - (60^\circ - \beta) = 60^\circ + \alpha + \beta\). Таким образом, мы получаем равенство \(180^\circ - \alpha - \beta = 60^\circ + \alpha + \beta\), из которого следует, что сумма \(\alpha + \beta\) составляет \(60^{\circ }\). Подставив это значение в любое из выражений, находим, что искомый угол \(BPC\) равен \(120^{\circ }\).