13-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2026 год, первая лига, 7-8 классы

Төмендегі суретте Исфаһан қаласының мешітінің тегіс қабырғаның фрагменті көрсетілген. Фрагмент бес түрлі көпбұрыштан тұрады. Оның ішінде дұрыс бесбұрыш пен дұрыс 10-бұрыш бар, және олардың барлық қабырғаларының ұзындықтары бірдей. Фрагменттегі алтыбұрыштың төрт бұрышы тең, және қалған екі бұрышы да өзара тең. Суреттегі белгіленген бұрыштардың шамасын табыңыз.

Комментарий/решение

Угол при вершине правильного многоугольника с \(n\) вершинами вычисляется по формуле \(\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}\). Следовательно, углы правильного пятиугольника и правильного десятиугольника на рисунке равны \(108^{\circ }\) и \(144^{\circ }\) соответственно.Глядя на схему, можно заметить:Мера угла \(x\) составляет \(360^\circ - (108^\circ + 144^\circ) = 108^\circ\).Аналогично, мера угла \(y\) на рисунке составляет \(360^\circ - (108^\circ + 108^\circ) = 144^\circ\).Рассматривая шестиугольник на чертеже, мы знаем, что сумма всех его углов равна \(720^{\circ }\). Таким образом, получаем уравнение \(2z + 4y = 720^\circ\), откуда \(z = 72^\circ\).