13-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2026 год, первая лига, 7-8 классы

На рисунке ниже дан фрагмент плитки из мечети в городе Исфахан. Фрагмент состоит из пяти различных типов многоугольников. Он включает правильный пятиугольник и правильный десятиугольник, причём все стороны имеют одинаковую длину. Шестиугольник в этом фрагменте имеет четыре равных угла, а два других угла также равны между собой. Найдите величины отмеченных углов на рисунке.

Комментарий/решение

Угол при вершине правильного многоугольника с \(n\) вершинами вычисляется по формуле \(\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}\). Следовательно, углы правильного пятиугольника и правильного десятиугольника на рисунке равны \(108^{\circ }\) и \(144^{\circ }\) соответственно.Глядя на схему, можно заметить:Мера угла \(x\) составляет \(360^\circ - (108^\circ + 144^\circ) = 108^\circ\).Аналогично, мера угла \(y\) на рисунке составляет \(360^\circ - (108^\circ + 108^\circ) = 144^\circ\).Рассматривая шестиугольник на чертеже, мы знаем, что сумма всех его углов равна \(720^{\circ }\). Таким образом, получаем уравнение \(2z + 4y = 720^\circ\), откуда \(z = 72^\circ\).