Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

Дөңгелек үстелдің айналасында $12$ ұл және $12$ қыз отыр, әрі көрші отырған екі ұл да, көрші отырған екі қыз да жоқ. Әр бала маңдайына оң сан жазып қойған. Мұғалім мынадай заңдылықты байқады: әр ұлдың маңдайындағы сан — жанында отырған екі қыздың маңдайындағы сандардың көбейтіндісіне тең, ал әр қыздың маңдайындағы сан — жанында отырған екі ұлдың маңдайындағы сандардың қосындысына тең. Барлық $24$ санның қосындысы қандай мәнді қабылдай алады?

Комментарий/решение

пусть $m_i$ это мальчики $d_i$ это девочки

$m_i = d_i \cdot d_{i+1}$

$d_i = m_{i-1} + m_i$

подставим $m$ в уравнение для $d$

$d_i = d_{i-1} \cdot d_i + d_i \cdot d_{i+1}$

сократим на $d_i$ так как числа положительные

$1 = d_{i-1} + d_{i+1}$

это значит что все нечетные девочки равны $d_1$

а все четные девочки равны $d_2$

тогда $d_1 + d_2 = 1$

всего 12 девочек это 6 таких пар

сумма всех девочек $S_d = 6 \cdot 1 = 6$

по условию $d_i$ это сумма двух соседних мальчиков

если сложить все $d_i$ то каждый мальчик посчитается дважды

$S_d = 2 \cdot S_m$

$6 = 2 \cdot S_m$

$S_m = 3$

общая сумма всех 24 чисел

$S = S_d + S_m = 6 + 3 = 9$

ответ: 9