Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

За круглым столом сидят 12 мальчиков и 12 девочек, причём нет рядом сидящих мальчиков и нет рядом сидящих девочек. Каждый ребёнок записал у себя на лбу положительное число. Учитель заметил, что число на лбу каждого мальчика равно произведению чисел на лбах двух рядом сидящих девочек, а число на лбу каждой девочки равно сумме чисел на лбах двух рядом сидящих мальчиков. Чему может равняться сумма всех 24 чисел?

Комментарий/решение

пусть $m_i$ это мальчики $d_i$ это девочки

$m_i = d_i \cdot d_{i+1}$

$d_i = m_{i-1} + m_i$

подставим $m$ в уравнение для $d$

$d_i = d_{i-1} \cdot d_i + d_i \cdot d_{i+1}$

сократим на $d_i$ так как числа положительные

$1 = d_{i-1} + d_{i+1}$

это значит что все нечетные девочки равны $d_1$

а все четные девочки равны $d_2$

тогда $d_1 + d_2 = 1$

всего 12 девочек это 6 таких пар

сумма всех девочек $S_d = 6 \cdot 1 = 6$

по условию $d_i$ это сумма двух соседних мальчиков

если сложить все $d_i$ то каждый мальчик посчитается дважды

$S_d = 2 \cdot S_m$

$6 = 2 \cdot S_m$

$S_m = 3$

общая сумма всех 24 чисел

$S = S_d + S_m = 6 + 3 = 9$

ответ: 9