Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

В каждой клетке таблицы $7\times 7$ стоит одно из чисел 1, 3, 5, 7. Назовём линией любую строку, столбец или диагональ (количество клеток в диагонали может быть любым от $1$ до $7$ включительно; всего диагоналей $26$). Докажите, что найдутся две линии, в которых суммы чисел равны друг другу.

Комментарий/решение

1.В таблице 7 на 7 всего 49 клеток. В каждой число 1 3 5 или 7 (все нечетные).

2. Сумма 7 нечетных чисел всегда нечетная.

3. У нас есть 7 строк 7 столбцов и 26 диагоналей всего 40 линий.

4. Минимальная сумма в линии это $7 \times 1 = 7$.

5. Максимальная сумма в линии это $7 \times 7 = 49$.

6. Возможные нечетные суммы: 7 9 11 ... 49. Всего их 22 варианта.

7. Линий у нас 40 а вариантов сумм только 22. По принципу Дирихле какие-то две суммы совпадут.