Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

Сумма натуральных чисел $n_1,n_2,\ldots,n_{10}$ равна $1000$. Известно, что произведение их факториалов $n_1!\cdot n_2!\cdot \ldots\cdot n_{10}!$ является точной 10-й степенью натурального числа. Какие значения может принимать выражение $n_1+n_2+n_3+n_4+n_5$? (Здесь через $n!$ обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.)

Комментарий/решение

Пусть не все числа $n_i$ равны 100

предположим что среди чисел есть максимальное $n_{max} > 100$

выберем самое большое простое число $p$ такое что $p \le n_{max}$

согласно постулату Бертрана между $n/2$ и $n$ всегда есть простое число

для чисел в районе 100 такие простые числа это 97 или 101

Если существует $n_i \ge 101$ то в произведении факториалов $P$ появится множитель 101

число 101 — простое. чтобы $P$ было 10-й степенью множитель 101 должен встретиться минимум 10 раз

это значит что каждое из десяти чисел $n_1, \dots, n_{10}$ должно быть не меньше 101

считаем их сумму: $101 \cdot 10 = 1010$

но по условию сумма строго равна 1000

получаем противоречие $1010 > 1000$

значит ни одно число не может быть больше или равно 101

Теперь проверим может ли кто-то быть меньше 100

если есть $n_i < 100$ то из-за фиксированной суммы 1000 должно быть число больше 100

но мы уже доказали что чисел $\ge 101$ быть не может

единственный вариант когда все числа не больше 100 и их сумма 1000 — это когда каждое число равно ровно 100

любое другое распределение (например одно 99 а другое 101) сразу приводит к противоречию с простыми числами

Таким образом $n_1 = n_2 = n_3 = n_4 = n_5 = 100$

искомая сумма $100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 500$

Ответ: 500