Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, II тур регионального этапа

Для каких натуральных $n$ найдутся такие целые числа $a$, $b$, $c$, $d$, большие, чем $10^{2026}$, что $a^2+b^2 = c^2+d^2$ и $a+b-c-d = n$? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Ответ: Для всех четных $n$.

Решение:

Рассмотрим исходное уравнение $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ по модулю 2.

Известно, что для любого целого $x$ справедливо сравнение $x^2 \equiv x \pmod 2$. Тогда:

\[ a + b \equiv a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \equiv c + d \pmod 2 \]

Отсюда следует, что разность $n = (a + b) - (c + d)$ должна быть четной:

\[ (a + b) - (c + d) \equiv 0 \pmod 2 \]

Таким образом, $n$ может быть только четным числом.

Пример:

Пусть $n$ — произвольное четное натуральное число. Покажем, что можно подобрать искомые $a, b, c, d$.

Перепишем уравнение в виде:

\[ a^2 - c^2 = d^2 - b^2 \iff (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b) \]

Положим следующие условия:

$a - c = n + 1$

$d - b = 1$

Тогда разность сумм будет равна:

\[ (a + b) - (c + d) = (a - c) - (d - b) = (n + 1) - 1 = n \]

Подставим выбранные разности в уравнение с квадратами:

\[ (n + 1)(a + c) = 1 \cdot (d + b) \]

Заменяя $a = c + n + 1$ и $d = b + 1$, получаем:

\[ (n + 1)(2c + n + 1) = 2b + 1 \]

\[ 2b = (n + 1)(2c + n + 1) - 1 \]

Так как $n$ четное, то $(n + 1)$ — нечетное. Число $(2c + n + 1)$ также нечетное при любом целом $c$. Произведение двух нечетных чисел всегда нечетное, следовательно, правая часть $(n + 1)(2c + n + 1) - 1$ всегда будет четной и $b$ всегда будет целым числом.

Чтобы выполнить условие $a, b, c, d > 10^{2026}$, достаточно выбрать $c$ достаточно большим (например, $c = 10^{2027}$). Тогда значения $a$, $b$ и $d$ также автоматически окажутся больше $10^{2026}$.