12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

Дана прямоугольная трапеция $PYXQ$ $(PY \perp PQ \perp QX)$. Точки $A$ и $B$ лежат на прямой $PQ$ так, что $\angle AYQ=\angle BXP=90^{\circ}$. Докажите, что $\triangle AYS \sim \triangle BXS$, где $S$ — точка пересечения диагоналей трапеции.

Комментарий/решение

Опустим перпендикуляр $SR$ на $PQ$.Тогда $\dfrac{PR}{RQ}=\dfrac{PS}{SX}=\dfrac{PY}{XQ}\Rightarrow \triangle RQX\sim\triangle RPY\Rightarrow \angle SAY=\angle SRY=\angle SRX=\angle SBX$ ч.т.д