Международная олимпиада 2025, Саншайн-Кост (Квинсленд), Австралия, 2025 год

Собственным делителем положительного целого числа $N$ называется положительный делитель числа $N$, отличный от самого $N$.
   Бесконечная последовательность $a_1, a_2, \ldots$ состоит из положительных целых чисел, каждое из которых имеет по крайней мере три собственных делителя. Для каждого $n \geqslant 1$ число $a_{n+1}$ равно сумме трёх наибольших собственных делителей числа $a_n$. Определите все возможные значения числа $a_1$.

Комментарий/решение

ответ: $n=2\cdot 3\cdot m; ~ 2^{2t+1} \cdot 3^{t+1} \cdot m$ где $m$ нечетное не делится на $5$.

Из условия получаем что:

$$a_{n+1}=a_n\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{a_n(xy+yz+zx)}{xyz}$$

где $x,y,z$ наименьшие делители $a_n$ больше $1.$

Если $a_n$ нечетно то $xy+yz+zx,xyz$ тоже, получается $a_{n+1}$ нечетно. Тогда $$a_{n+1}\leq a_n(1/3+1/5+1/7)<a_n$$

и тогда мы получаем бесконечную последовательность строго убывающих натуральных чисел, что невозможно. Тогда все $a_n$ четные и $x=2$.

$$a_n \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{a_n(2(y+z)+yz)}{2yz}$$

Предположим что $a_n$ не делится на $3$ для какого-то $n,$ тогда $x,y,z$ тоже не делятся на $3:$

$$a_n(1/2+1/y+1/z)=\frac{a_n(2(y+z)+yz)}{2yz}\leq a_n(1/2+1/4+1/5)<a_n$$

$$2(y+z)+yz \equiv 2(1+1)+1\cdot 1; ~ 2(1+2)+1\cdot 2; ~ 2(2+2)+2 \cdot 2 \equiv 2;~2;~0 \pmod 3$$

тогда для какого-то $N>n,$ $a_N$ делится на $3$ что возможно если $y\equiv z\equiv 2 \pmod 3$ для $a_{N-1}.$ У нас $4\equiv 2y \equiv 2z \equiv 1 \pmod 3,$ значит $y,z$ нечетные а $a_{N-1}\equiv 2 \pmod 4$.

$$a_{N-1}(1/2+1/y+1/z)=\frac{a_{N-1}(2(y+z)+yz)}{2yz}\equiv 1 \pmod 2$$

Противоречие так как $a_N$ четное. Получается все $a_n$ делятся на $3$ и $y=3.$

$$a_n \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{z}\right)=\frac{a_n(5z+6)}{6z}$$

Если $z=5$ то $a_n \equiv 2 \pmod 4$ и $a_{n+1}\equiv 1 \pmod 2,$ что невозможно.

Если $a_1$ не делится на $4$ тогда $$a_2=a_1(1/2+1/3+1/6)=a_1$$

все $a_n$ равны и принимают вид $a=2\cdot 3 \cdot m$ где $m$ нечетное число которое не делится на $5$ (но может делится на $3$).

Пусть $a_1$ делится на $4$, тогда:

$$a_{2}=\frac{a_1(26)}{24}=\frac{13a_1}{12}\equiv 0 \pmod 6$$

для какого то $n>1$ у нас $a_n$ не делится на $4,$ а значит в какой то момент $a_n$ равны. У нас $a_1=2^{2t+1} \cdot 3^{t+1} \cdot m, ~ t\in\mathbb{N}$ где $m$ нечетное число которое не делится на $5$ (но может делится на $3$).

Аж ослеп от такого решение!

отличная задача на технику