Международная олимпиада 2025, Саншайн-Кост (Квинсленд), Австралия, 2025 год

Жазықтықтағы түзу жарық түзу деп аталады, егер ол $O x, O y$ осьтеріне де, $x+y=0$ түзуіне де параллель болмаса.
   $n \geqslant 3$ бүтін саны берілген. Келесі екі шартты қанағаттандыратын барлық теріс емес әрі бүтін $k$ мәндерін, әрі осы әр мән үшін дәл $n$ әртүрлі түзулер табылып, әрқайсысы үшін келесі шарт орындалады:
   $\bullet$ барлық оң бүтін $a$ және $b$ сандары үшін, мұндағы $a+b \leqslant n+1$, $(a, b)$ нүктесі осы түзулердің кем дегенде біреуінде жатады;
   $\bullet$ Осы түзулердің дәл $k$-сы жарық түзу.

Комментарий/решение

Для $n≥4$ на границе треугольника, построенной по этим точкам, лежит $3n−3$ точек. Если нет прямой, совпадающей ни с одной из сторон этого треугольника то каждая прямая может проходить максимум через две её точки, и вместе они проходят не более $2n$ точек. Но $3n-3>2n$. Следовательно, как минимум одна прямая должна совпадать со стороной этой фигуры. Теперь есть новый треугольник где в одной стороне $n−1$ точек, и так далее до $n=3$. И легко найти что $k=0,1,3$