Международная олимпиада 2025, Саншайн-Кост (Квинсленд), Австралия, 2025 год

Прямая на плоскости называется солнечной, если она не параллельна ни одной из осей $O x, O y$ и прямой $x+y=0$.
   Дано целое число $n \geqslant 3$. Определите все неотрицательные целые числа $k$, такие, что на плоскости существует $n$ различных прямых, удовлетворяющих следующим двум условиям:
   $\bullet$ для всех положительных целых чисел $a$ и $b$, где $a+b \leqslant n+1$, точка $(a, b)$ лежит хотя бы на одной из этих прямых;
   $\bullet$ ровно $k$ из этих $n$ прямых являются солнечными.

Комментарий/решение

Для $n≥4$ на границе треугольника, построенной по этим точкам, лежит $3n−3$ точек. Если нет прямой, совпадающей ни с одной из сторон этого треугольника то каждая прямая может проходить максимум через две её точки, и вместе они проходят не более $2n$ точек. Но $3n-3>2n$. Следовательно, как минимум одна прямая должна совпадать со стороной этой фигуры. Теперь есть новый треугольник где в одной стороне $n−1$ точек, и так далее до $n=3$. И легко найти что $k=0,1,3$