Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2023 год

В графе с $n$ вершинами каждые две вершины соединены единственным путём. Для каждых двух вершин $u$ и $v$ обозначим через $d(u, v)$ расстояние между $u$ и $v$, т. е. количество ребер в пути, соединяющем эти вершины, а через $\deg u$ обозначим степень вершины $u$. Пусть $W$ — сумма всех попарных расстояний между вершинами, $D$ — сумма всех взвешенных попарных расстояний: $$ D=\sum_{\{u, v\}}(\deg u+\deg v) d(u, v).$$ Докажите, что $D=4 W-n(n-1)$. ( I. Gutman )